Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4419 / 5996
↖ ↑ ↗
← S 63.782486°
E 14.194336°		 ← 2 158.76 m → S 63.782486°
E 14.238281°		 →
↑
2 157.99 m
↓
↑
2 157.99 m
↓
S 63.801893°
E 14.194336°		 ← 2 157.27 m →
4 656 960 m²		 S 63.801893°
E 14.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53948974609375 y=0.73199462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53948974609375 × 213)
    floor (0.53948974609375 × 8192)
    floor (4419.5)     		tx = 4419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73199462890625 × 213)
    floor (0.73199462890625 × 8192)
    floor (5996.5)     		ty = 5996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4419 / 5996 ti = "13/4419/5996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4419/5996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4419 ÷ 213
    4419 ÷ 8192     		x = 0.5394287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5996 ÷ 213
    5996 ÷ 8192     		y = 0.73193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5394287109375 × 2 - 1) × π
    0.078857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24773790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73193359375 × 2 - 1) × π
    -0.4638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45728174844971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24773790} λ = 0.24773790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45728174844971))-π/2
    2×atan(0.232868410105829)-π/2
    2×0.228790970231089-π/2
    0.457581940462178-1.57079632675     		φ = -1.11321439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24773790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.194336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11321439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.782486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4419 KachelY 5996 0.24773790 -1.11321439 14.194336 -63.782486
    Oben rechts KachelX + 1 4420 KachelY 5996 0.24850489 -1.11321439 14.238281 -63.782486
    Unten links KachelX 4419 KachelY + 1 5997 0.24773790 -1.11355311 14.194336 -63.801893
    Unten rechts KachelX + 1 4420 KachelY + 1 5997 0.24850489 -1.11355311 14.238281 -63.801893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11321439--1.11355311) × R
    0.000338720000000015 × 6371000     		dl = 2157.98512000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11321439--1.11355311) × R
    0.000338720000000015 × 6371000     		dr = 2157.98512000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24773790-0.24850489) × cos(-1.11321439) × R
    0.000766989999999995 × 0.44178009961464 × 6371000     		do = 2158.75549242246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24773790-0.24850489) × cos(-1.11355311) × R
    0.000766989999999995 × 0.441476200649088 × 6371000     		du = 2157.27049216645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11321439)-sin(-1.11355311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44178009961464-0.441476200649088)×R²
    abs(0.24850489-0.24773790)×0.000303898965552385×R²
    0.000766989999999995×0.000303898965552385×6371000²
    0.000766989999999995×0.000303898965552385×40589641000000     		ar = 4656959.97066442m²