Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4418 / 12868
↖ ↑ ↗
← S 71.102543°
W 82.924804°		 ← 791.30 m → S 71.102543°
W 82.902832°		 →
↑
791.15 m
↓
↑
791.15 m
↓
S 71.109658°
W 82.924804°		 ← 791.01 m →
625 922 m²		 S 71.109658°
W 82.902832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269683837890625 y=0.785430908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269683837890625 × 214)
    floor (0.269683837890625 × 16384)
    floor (4418.5)     		tx = 4418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785430908203125 × 214)
    floor (0.785430908203125 × 16384)
    floor (12868.5)     		ty = 12868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4418 / 12868 ti = "14/4418/12868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4418/12868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4418 ÷ 214
    4418 ÷ 16384     		x = 0.2696533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12868 ÷ 214
    12868 ÷ 16384     		y = 0.785400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2696533203125 × 2 - 1) × π
    -0.460693359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44731087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785400390625 × 2 - 1) × π
    -0.57080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79322354098706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44731087} λ = -1.44731087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79322354098706))-π/2
    2×atan(0.1664228332452)-π/2
    2×0.16491142470898-π/2
    0.329822849417961-1.57079632675     		φ = -1.24097348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44731087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.924804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24097348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.102543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4418 KachelY 12868 -1.44731087 -1.24097348 -82.924804 -71.102543
    Oben rechts KachelX + 1 4419 KachelY 12868 -1.44692738 -1.24097348 -82.902832 -71.102543
    Unten links KachelX 4418 KachelY + 1 12869 -1.44731087 -1.24109766 -82.924804 -71.109658
    Unten rechts KachelX + 1 4419 KachelY + 1 12869 -1.44692738 -1.24109766 -82.902832 -71.109658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24097348--1.24109766) × R
    0.000124180000000029 × 6371000     		dl = 791.150780000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24097348--1.24109766) × R
    0.000124180000000029 × 6371000     		dr = 791.150780000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44731087--1.44692738) × cos(-1.24097348) × R
    0.000383489999999931 × 0.323875428877662 × 6371000     		do = 791.297237951355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44731087--1.44692738) × cos(-1.24109766) × R
    0.000383489999999931 × 0.323757939715815 × 6371000     		du = 791.010186693464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24097348)-sin(-1.24109766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323875428877662-0.323757939715815)×R²
    abs(-1.44692738--1.44731087)×0.000117489161847728×R²
    0.000383489999999931×0.000117489161847728×6371000²
    0.000383489999999931×0.000117489161847728×40589641000000     		ar = 625921.877407599m²