Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4416 / 6464
↖ ↑ ↗
← S 71.524909°
E 14.062500°		 ← 1 548.49 m → S 71.524909°
E 14.106446°		 →
↑
1 547.90 m
↓
↑
1 547.90 m
↓
S 71.538830°
E 14.062500°		 ← 1 547.37 m →
2 396 037 m²		 S 71.538830°
E 14.106446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53912353515625 y=0.78912353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53912353515625 × 213)
    floor (0.53912353515625 × 8192)
    floor (4416.5)     		tx = 4416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78912353515625 × 213)
    floor (0.78912353515625 × 8192)
    floor (6464.5)     		ty = 6464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4416 / 6464 ti = "13/4416/6464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4416/6464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4416 ÷ 213
    4416 ÷ 8192     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6464 ÷ 213
    6464 ÷ 8192     		y = 0.7890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7890625 × 2 - 1) × π
    -0.578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81623325280469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81623325280469))-π/2
    2×atan(0.16263721186318)-π/2
    2×0.161225583460261-π/2
    0.322451166920523-1.57079632675     		φ = -1.24834516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24834516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.524909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4416 KachelY 6464 0.24543693 -1.24834516 14.062500 -71.524909
    Oben rechts KachelX + 1 4417 KachelY 6464 0.24620392 -1.24834516 14.106446 -71.524909
    Unten links KachelX 4416 KachelY + 1 6465 0.24543693 -1.24858812 14.062500 -71.538830
    Unten rechts KachelX + 1 4417 KachelY + 1 6465 0.24620392 -1.24858812 14.106446 -71.538830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24834516--1.24858812) × R
    0.000242960000000014 × 6371000     		dl = 1547.89816000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24834516--1.24858812) × R
    0.000242960000000014 × 6371000     		dr = 1547.89816000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.24620392) × cos(-1.24834516) × R
    0.000766989999999995 × 0.316892347631675 × 6371000     		do = 1548.49233035452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.24620392) × cos(-1.24858812) × R
    0.000766989999999995 × 0.316661900071944 × 6371000     		du = 1547.36624990019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24834516)-sin(-1.24858812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316892347631675-0.316661900071944)×R²
    abs(0.24620392-0.24543693)×0.000230447559730784×R²
    0.000766989999999995×0.000230447559730784×6371000²
    0.000766989999999995×0.000230447559730784×40589641000000     		ar = 2396036.91178377m²