Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4414 / 5982
↖ ↑ ↗
← S 63.509376°
E 13.974610°		 ← 2 179.63 m → S 63.509376°
E 14.018555°		 →
↑
2 178.88 m
↓
↑
2 178.88 m
↓
S 63.528971°
E 13.974610°		 ← 2 178.13 m →
4 747 520 m²		 S 63.528971°
E 14.018555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53887939453125 y=0.73028564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53887939453125 × 213)
    floor (0.53887939453125 × 8192)
    floor (4414.5)     		tx = 4414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73028564453125 × 213)
    floor (0.73028564453125 × 8192)
    floor (5982.5)     		ty = 5982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4414 / 5982 ti = "13/4414/5982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4414/5982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4414 ÷ 213
    4414 ÷ 8192     		x = 0.538818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5982 ÷ 213
    5982 ÷ 8192     		y = 0.730224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538818359375 × 2 - 1) × π
    0.07763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24390295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730224609375 × 2 - 1) × π
    -0.46044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44654388293481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24390295} λ = 0.24390295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44654388293481))-π/2
    2×atan(0.235382393025956)-π/2
    2×0.231174310088869-π/2
    0.462348620177738-1.57079632675     		φ = -1.10844771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24390295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.974610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10844771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.509376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4414 KachelY 5982 0.24390295 -1.10844771 13.974610 -63.509376
    Oben rechts KachelX + 1 4415 KachelY 5982 0.24466994 -1.10844771 14.018555 -63.509376
    Unten links KachelX 4414 KachelY + 1 5983 0.24390295 -1.10878971 13.974610 -63.528971
    Unten rechts KachelX + 1 4415 KachelY + 1 5983 0.24466994 -1.10878971 14.018555 -63.528971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10844771--1.10878971) × R
    0.000341999999999842 × 6371000     		dl = 2178.881999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10844771--1.10878971) × R
    0.000341999999999842 × 6371000     		dr = 2178.881999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24390295-0.24466994) × cos(-1.10844771) × R
    0.000766989999999995 × 0.44605136456709 × 6371000     		do = 2179.62699995242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24390295-0.24466994) × cos(-1.10878971) × R
    0.000766989999999995 × 0.44574524596887 × 6371000     		du = 2178.13115347627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10844771)-sin(-1.10878971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44605136456709-0.44574524596887)×R²
    abs(0.24466994-0.24390295)×0.000306118598220217×R²
    0.000766989999999995×0.000306118598220217×6371000²
    0.000766989999999995×0.000306118598220217×40589641000000     		ar = 4747520.44670005m²