Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4414 / 5979
↖ ↑ ↗
← S 63.450509°
E 13.974610°		 ← 2 184.12 m → S 63.450509°
E 14.018555°		 →
↑
2 183.34 m
↓
↑
2 183.34 m
↓
S 63.470145°
E 13.974610°		 ← 2 182.62 m →
4 767 043 m²		 S 63.470145°
E 14.018555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53887939453125 y=0.72991943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53887939453125 × 213)
    floor (0.53887939453125 × 8192)
    floor (4414.5)     		tx = 4414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72991943359375 × 213)
    floor (0.72991943359375 × 8192)
    floor (5979.5)     		ty = 5979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4414 / 5979 ti = "13/4414/5979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4414/5979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4414 ÷ 213
    4414 ÷ 8192     		x = 0.538818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5979 ÷ 213
    5979 ÷ 8192     		y = 0.7298583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538818359375 × 2 - 1) × π
    0.07763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24390295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7298583984375 × 2 - 1) × π
    -0.459716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44424291175305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24390295} λ = 0.24390295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44424291175305))-π/2
    2×atan(0.235924624719518)-π/2
    2×0.231688014446108-π/2
    0.463376028892216-1.57079632675     		φ = -1.10742030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24390295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.974610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10742030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.450509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4414 KachelY 5979 0.24390295 -1.10742030 13.974610 -63.450509
    Oben rechts KachelX + 1 4415 KachelY 5979 0.24466994 -1.10742030 14.018555 -63.450509
    Unten links KachelX 4414 KachelY + 1 5980 0.24390295 -1.10776300 13.974610 -63.470145
    Unten rechts KachelX + 1 4415 KachelY + 1 5980 0.24466994 -1.10776300 14.018555 -63.470145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10742030--1.10776300) × R
    0.000342700000000029 × 6371000     		dl = 2183.34170000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10742030--1.10776300) × R
    0.000342700000000029 × 6371000     		dr = 2183.34170000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24390295-0.24466994) × cos(-1.10742030) × R
    0.000766989999999995 × 0.446970668500844 × 6371000     		do = 2184.11917245617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24390295-0.24466994) × cos(-1.10776300) × R
    0.000766989999999995 × 0.446664080450225 × 6371000     		du = 2182.62103200403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10742030)-sin(-1.10776300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446970668500844-0.446664080450225)×R²
    abs(0.24466994-0.24390295)×0.000306588050619061×R²
    0.000766989999999995×0.000306588050619061×6371000²
    0.000766989999999995×0.000306588050619061×40589641000000     		ar = 4767043.03738892m²