Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4413 / 5978
↖ ↑ ↗
← S 63.430860°
E 13.930664°		 ← 2 185.65 m → S 63.430860°
E 13.974610°		 →
↑
2 184.87 m
↓
↑
2 184.87 m
↓
S 63.450509°
E 13.930664°		 ← 2 184.15 m →
4 773 718 m²		 S 63.450509°
E 13.974610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53875732421875 y=0.72979736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53875732421875 × 213)
    floor (0.53875732421875 × 8192)
    floor (4413.5)     		tx = 4413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72979736328125 × 213)
    floor (0.72979736328125 × 8192)
    floor (5978.5)     		ty = 5978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4413 / 5978 ti = "13/4413/5978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4413/5978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4413 ÷ 213
    4413 ÷ 8192     		x = 0.5386962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5978 ÷ 213
    5978 ÷ 8192     		y = 0.729736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5386962890625 × 2 - 1) × π
    0.077392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24313595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.45947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44347592135913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24313595} λ = 0.24313595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44347592135913))-π/2
    2×atan(0.236105646052305)-π/2
    2×0.231859484364923-π/2
    0.463718968729847-1.57079632675     		φ = -1.10707736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24313595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.930664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10707736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.430860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4413 KachelY 5978 0.24313595 -1.10707736 13.930664 -63.430860
    Oben rechts KachelX + 1 4414 KachelY 5978 0.24390295 -1.10707736 13.974610 -63.430860
    Unten links KachelX 4413 KachelY + 1 5979 0.24313595 -1.10742030 13.930664 -63.450509
    Unten rechts KachelX + 1 4414 KachelY + 1 5979 0.24390295 -1.10742030 13.974610 -63.450509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10707736--1.10742030) × R
    0.000342940000000125 × 6371000     		dl = 2184.8707400008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10707736--1.10742030) × R
    0.000342940000000125 × 6371000     		dr = 2184.8707400008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24313595-0.24390295) × cos(-1.10707736) × R
    0.000767000000000018 × 0.447277418712637 × 6371000     		do = 2185.64660135222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24313595-0.24390295) × cos(-1.10742030) × R
    0.000767000000000018 × 0.446970668500844 × 6371000     		du = 2184.14764895753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10707736)-sin(-1.10742030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447277418712637-0.446970668500844)×R²
    abs(0.24390295-0.24313595)×0.00030675021179305×R²
    0.000767000000000018×0.00030675021179305×6371000²
    0.000767000000000018×0.00030675021179305×40589641000000     		ar = 4773717.84544858m²