Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4413 / 2813
↖ ↑ ↗
← N 75.513656°
W 83.034668°		 ← 611.18 m → N 75.513656°
W 83.012695°		 →
↑
611.23 m
↓
↑
611.23 m
↓
N 75.508159°
W 83.034668°		 ← 611.41 m →
373 646 m²		 N 75.508159°
W 83.012695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269378662109375 y=0.171722412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269378662109375 × 214)
    floor (0.269378662109375 × 16384)
    floor (4413.5)     		tx = 4413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171722412109375 × 214)
    floor (0.171722412109375 × 16384)
    floor (2813.5)     		ty = 2813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4413 / 2813 ti = "14/4413/2813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4413/2813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4413 ÷ 214
    4413 ÷ 16384     		x = 0.26934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2813 ÷ 214
    2813 ÷ 16384     		y = 0.17169189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26934814453125 × 2 - 1) × π
    -0.4613037109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44922835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17169189453125 × 2 - 1) × π
    0.6566162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.06282066445026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44922835} λ = -1.44922835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06282066445026))-π/2
    2×atan(7.86813189965523)-π/2
    2×1.44437912567084-π/2
    2.88875825134169-1.57079632675     		φ = 1.31796192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44922835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.034668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31796192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.513656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4413 KachelY 2813 -1.44922835 1.31796192 -83.034668 75.513656
    Oben rechts KachelX + 1 4414 KachelY 2813 -1.44884485 1.31796192 -83.012695 75.513656
    Unten links KachelX 4413 KachelY + 1 2814 -1.44922835 1.31786598 -83.034668 75.508159
    Unten rechts KachelX + 1 4414 KachelY + 1 2814 -1.44884485 1.31786598 -83.012695 75.508159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31796192-1.31786598) × R
    9.59399999997945e-05 × 6371000     		dl = 611.233739998691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31796192-1.31786598) × R
    9.59399999997945e-05 × 6371000     		dr = 611.233739998691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44922835--1.44884485) × cos(1.31796192) × R
    0.000383500000000092 × 0.250149253725106 × 6371000     		do = 611.184293417743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44922835--1.44884485) × cos(1.31786598) × R
    0.000383500000000092 × 0.250242142380844 × 6371000     		du = 611.411246273201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31796192)-sin(1.31786598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250149253725106-0.250242142380844)×R²
    abs(-1.44884485--1.44922835)×9.2888655737644e-05×R²
    0.000383500000000092×9.2888655737644e-05×6371000²
    0.000383500000000092×9.2888655737644e-05×40589641000000     		ar = 373645.822401899m²