Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44128 / 95175
↖ ↑ ↗
← S 62.843866°
W 58.798828°		 ← 139.40 m → S 62.843866°
W 58.796082°		 →
↑
139.40 m
↓
↑
139.40 m
↓
S 62.845119°
W 58.798828°		 ← 139.40 m →
19 432 m²		 S 62.845119°
W 58.796082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.336673736572266 y=0.726131439208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.336673736572266 × 217)
    floor (0.336673736572266 × 131072)
    floor (44128.5)     		tx = 44128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726131439208984 × 217)
    floor (0.726131439208984 × 131072)
    floor (95175.5)     		ty = 95175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44128 / 95175 ti = "17/44128/95175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44128/95175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44128 ÷ 217
    44128 ÷ 131072     		x = 0.336669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95175 ÷ 217
    95175 ÷ 131072     		y = 0.726127624511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.32666015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.02623315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726127624511719 × 2 - 1) × π
    -0.452255249023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.42080176783884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.02623315} λ = -1.02623315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42080176783884))-π/2
    2×atan(0.241520296042044)-π/2
    2×0.236981980225469-π/2
    0.473963960450939-1.57079632675     		φ = -1.09683237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.02623315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.798828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09683237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.843866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44128 KachelY 95175 -1.02623315 -1.09683237 -58.798828 -62.843866
    Oben rechts KachelX + 1 44129 KachelY 95175 -1.02618521 -1.09683237 -58.796082 -62.843866
    Unten links KachelX 44128 KachelY + 1 95176 -1.02623315 -1.09685425 -58.798828 -62.845119
    Unten rechts KachelX + 1 44129 KachelY + 1 95176 -1.02618521 -1.09685425 -58.796082 -62.845119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09683237--1.09685425) × R
    2.18800000000297e-05 × 6371000     		dl = 139.397480000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09683237--1.09685425) × R
    2.18800000000297e-05 × 6371000     		dr = 139.397480000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.02623315--1.02618521) × cos(-1.09683237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456416856211984 × 6371000     		do = 139.401456056927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.02623315--1.02618521) × cos(-1.09685425) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456397388021196 × 6371000     		du = 139.39550997035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09683237)-sin(-1.09685425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456416856211984-0.456397388021196)×R²
    abs(-1.02618521--1.02623315)×1.9468190788019e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9468190788019e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9468190788019e-05×40589641000000     		ar = 19431.797248725m²