Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44124 / 95182
↖ ↑ ↗
← S 62.852639°
W 58.809814°		 ← 139.33 m → S 62.852639°
W 58.807068°		 →
↑
139.33 m
↓
↑
139.33 m
↓
S 62.853892°
W 58.809814°		 ← 139.32 m →
19 413 m²		 S 62.853892°
W 58.807068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.336643218994141 y=0.726184844970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.336643218994141 × 217)
    floor (0.336643218994141 × 131072)
    floor (44124.5)     		tx = 44124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726184844970703 × 217)
    floor (0.726184844970703 × 131072)
    floor (95182.5)     		ty = 95182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44124 / 95182 ti = "17/44124/95182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44124/95182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44124 ÷ 217
    44124 ÷ 131072     		x = 0.336639404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95182 ÷ 217
    95182 ÷ 131072     		y = 0.726181030273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.336639404296875 × 2 - 1) × π
    -0.32672119140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.02642489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726181030273438 × 2 - 1) × π
    -0.452362060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42113732613618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.02642489} λ = -1.02642489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42113732613618))-π/2
    2×atan(0.241439265498727)-π/2
    2×0.236905414424281-π/2
    0.473810828848563-1.57079632675     		φ = -1.09698550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.02642489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.809814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09698550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.852639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44124 KachelY 95182 -1.02642489 -1.09698550 -58.809814 -62.852639
    Oben rechts KachelX + 1 44125 KachelY 95182 -1.02637696 -1.09698550 -58.807068 -62.852639
    Unten links KachelX 44124 KachelY + 1 95183 -1.02642489 -1.09700737 -58.809814 -62.853892
    Unten rechts KachelX + 1 44125 KachelY + 1 95183 -1.02637696 -1.09700737 -58.807068 -62.853892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09698550--1.09700737) × R
    2.18700000000904e-05 × 6371000     		dl = 139.333770000576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09698550--1.09700737) × R
    2.18700000000904e-05 × 6371000     		dr = 139.333770000576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.02642489--1.02637696) × cos(-1.09698550) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.456280600983517 × 6371000     		do = 139.330770566032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.02642489--1.02637696) × cos(-1.09700737) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.456261140162232 × 6371000     		du = 139.324827970139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09698550)-sin(-1.09700737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456280600983517-0.456261140162232)×R²
    abs(-1.02637696--1.02642489)×1.94608212854552e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94608212854552e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94608212854552e-05×40589641000000     		ar = 19413.0675387871m²