Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44123 / 95177
↖ ↑ ↗
← S 62.846372°
W 58.812561°		 ← 139.39 m → S 62.846372°
W 58.809814°		 →
↑
139.40 m
↓
↑
139.40 m
↓
S 62.847626°
W 58.812561°		 ← 139.38 m →
19 430 m²		 S 62.847626°
W 58.809814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.336635589599609 y=0.726146697998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.336635589599609 × 217)
    floor (0.336635589599609 × 131072)
    floor (44123.5)     		tx = 44123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726146697998047 × 217)
    floor (0.726146697998047 × 131072)
    floor (95177.5)     		ty = 95177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44123 / 95177 ti = "17/44123/95177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44123/95177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44123 ÷ 217
    44123 ÷ 131072     		x = 0.336631774902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95177 ÷ 217
    95177 ÷ 131072     		y = 0.726142883300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.336631774902344 × 2 - 1) × π
    -0.326736450195312 × 3.1415926535     		Λ = -1.02647283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726142883300781 × 2 - 1) × π
    -0.452285766601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.42089764163808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.02647283} λ = -1.02647283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42089764163808))-π/2
    2×atan(0.241497141683634)-π/2
    2×0.236960101949478-π/2
    0.473920203898957-1.57079632675     		φ = -1.09687612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.02647283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.812561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09687612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.846372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44123 KachelY 95177 -1.02647283 -1.09687612 -58.812561 -62.846372
    Oben rechts KachelX + 1 44124 KachelY 95177 -1.02642489 -1.09687612 -58.809814 -62.846372
    Unten links KachelX 44123 KachelY + 1 95178 -1.02647283 -1.09689800 -58.812561 -62.847626
    Unten rechts KachelX + 1 44124 KachelY + 1 95178 -1.02642489 -1.09689800 -58.809814 -62.847626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09687612--1.09689800) × R
    2.18800000000297e-05 × 6371000     		dl = 139.397480000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09687612--1.09689800) × R
    2.18800000000297e-05 × 6371000     		dr = 139.397480000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.02647283--1.02642489) × cos(-1.09687612) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.456377928509776 × 6371000     		do = 139.389566534674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.02647283--1.02642489) × cos(-1.09689800) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.45635845988211 × 6371000     		du = 139.383620314662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09687612)-sin(-1.09689800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456377928509776-0.45635845988211)×R²
    abs(-1.02642489--1.02647283)×1.94686276651646e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94686276651646e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94686276651646e-05×40589641000000     		ar = 19430.1398699947m²