Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4410 / 5954
↖ ↑ ↗
← S 62.955223°
E 13.798828°		 ← 2 221.82 m → S 62.955223°
E 13.842773°		 →
↑
2 221.06 m
↓
↑
2 221.06 m
↓
S 62.975197°
E 13.798828°		 ← 2 220.31 m →
4 933 114 m²		 S 62.975197°
E 13.842773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53839111328125 y=0.72686767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53839111328125 × 213)
    floor (0.53839111328125 × 8192)
    floor (4410.5)     		tx = 4410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72686767578125 × 213)
    floor (0.72686767578125 × 8192)
    floor (5954.5)     		ty = 5954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4410 / 5954 ti = "13/4410/5954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4410/5954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4410 ÷ 213
    4410 ÷ 8192     		x = 0.538330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5954 ÷ 213
    5954 ÷ 8192     		y = 0.726806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538330078125 × 2 - 1) × π
    0.07666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24083498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726806640625 × 2 - 1) × π
    -0.45361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42506815190503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24083498} λ = 0.24083498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42506815190503))-π/2
    2×atan(0.240492072656929)-π/2
    2×0.23601020167399-π/2
    0.47202040334798-1.57079632675     		φ = -1.09877592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24083498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.798828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09877592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.955223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4410 KachelY 5954 0.24083498 -1.09877592 13.798828 -62.955223
    Oben rechts KachelX + 1 4411 KachelY 5954 0.24160197 -1.09877592 13.842773 -62.955223
    Unten links KachelX 4410 KachelY + 1 5955 0.24083498 -1.09912454 13.798828 -62.975197
    Unten rechts KachelX + 1 4411 KachelY + 1 5955 0.24160197 -1.09912454 13.842773 -62.975197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09877592--1.09912454) × R
    0.000348620000000022 × 6371000     		dl = 2221.05802000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09877592--1.09912454) × R
    0.000348620000000022 × 6371000     		dr = 2221.05802000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24083498-0.24160197) × cos(-1.09877592) × R
    0.000766989999999995 × 0.454686690430664 × 6371000     		do = 2221.82346184173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24083498-0.24160197) × cos(-1.09912454) × R
    0.000766989999999995 × 0.454376163896479 × 6371000     		du = 2220.30607601607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09877592)-sin(-1.09912454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454686690430664-0.454376163896479)×R²
    abs(0.24160197-0.24083498)×0.000310526534184952×R²
    0.000766989999999995×0.000310526534184952×6371000²
    0.000766989999999995×0.000310526534184952×40589641000000     		ar = 4933113.76793278m²