Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4409 / 5961
↖ ↑ ↗
← S 63.094759°
E 13.754883°		 ← 2 211.22 m → S 63.094759°
E 13.798828°		 →
↑
2 210.42 m
↓
↑
2 210.42 m
↓
S 63.114637°
E 13.754883°		 ← 2 209.71 m →
4 886 046 m²		 S 63.114637°
E 13.798828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53826904296875 y=0.72772216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53826904296875 × 213)
    floor (0.53826904296875 × 8192)
    floor (4409.5)     		tx = 4409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72772216796875 × 213)
    floor (0.72772216796875 × 8192)
    floor (5961.5)     		ty = 5961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4409 / 5961 ti = "13/4409/5961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4409/5961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4409 ÷ 213
    4409 ÷ 8192     		x = 0.5382080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5961 ÷ 213
    5961 ÷ 8192     		y = 0.7276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5382080078125 × 2 - 1) × π
    0.076416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24006799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.455322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43043708466248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24006799} λ = 0.24006799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43043708466248))-π/2
    2×atan(0.239204346840066)-π/2
    2×0.234792525448368-π/2
    0.469585050896737-1.57079632675     		φ = -1.10121128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24006799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.754883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10121128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.094759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4409 KachelY 5961 0.24006799 -1.10121128 13.754883 -63.094759
    Oben rechts KachelX + 1 4410 KachelY 5961 0.24083498 -1.10121128 13.798828 -63.094759
    Unten links KachelX 4409 KachelY + 1 5962 0.24006799 -1.10155823 13.754883 -63.114637
    Unten rechts KachelX + 1 4410 KachelY + 1 5962 0.24083498 -1.10155823 13.798828 -63.114637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10121128--1.10155823) × R
    0.000346949999999957 × 6371000     		dl = 2210.41844999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10121128--1.10155823) × R
    0.000346949999999957 × 6371000     		dr = 2210.41844999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24006799-0.24083498) × cos(-1.10121128) × R
    0.000766989999999995 × 0.452516287280555 × 6371000     		do = 2211.21780141213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24006799-0.24083498) × cos(-1.10155823) × R
    0.000766989999999995 × 0.452206865259001 × 6371000     		du = 2209.70581278003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10121128)-sin(-1.10155823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452516287280555-0.452206865259001)×R²
    abs(0.24083498-0.24006799)×0.000309422021554373×R²
    0.000766989999999995×0.000309422021554373×6371000²
    0.000766989999999995×0.000309422021554373×40589641000000     		ar = 4886045.61043928m²