Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4409 / 12888
↖ ↑ ↗
← S 71.244356°
W 83.122559°		 ← 785.59 m → S 71.244356°
W 83.100586°		 →
↑
785.42 m
↓
↑
785.42 m
↓
S 71.251419°
W 83.122559°		 ← 785.31 m →
616 907 m²		 S 71.251419°
W 83.100586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269134521484375 y=0.786651611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269134521484375 × 214)
    floor (0.269134521484375 × 16384)
    floor (4409.5)     		tx = 4409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786651611328125 × 214)
    floor (0.786651611328125 × 16384)
    floor (12888.5)     		ty = 12888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4409 / 12888 ti = "14/4409/12888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4409/12888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4409 ÷ 214
    4409 ÷ 16384     		x = 0.26910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12888 ÷ 214
    12888 ÷ 16384     		y = 0.78662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26910400390625 × 2 - 1) × π
    -0.4617919921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45076233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78662109375 × 2 - 1) × π
    -0.5732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80089344492627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45076233} λ = -1.45076233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80089344492627))-π/2
    2×atan(0.165151268723353)-π/2
    2×0.16367387482318-π/2
    0.32734774964636-1.57079632675     		φ = -1.24344858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45076233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.122559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24344858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.244356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4409 KachelY 12888 -1.45076233 -1.24344858 -83.122559 -71.244356
    Oben rechts KachelX + 1 4410 KachelY 12888 -1.45037883 -1.24344858 -83.100586 -71.244356
    Unten links KachelX 4409 KachelY + 1 12889 -1.45076233 -1.24357186 -83.122559 -71.251419
    Unten rechts KachelX + 1 4410 KachelY + 1 12889 -1.45037883 -1.24357186 -83.100586 -71.251419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24344858--1.24357186) × R
    0.00012328000000017 × 6371000     		dl = 785.416880001083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24344858--1.24357186) × R
    0.00012328000000017 × 6371000     		dr = 785.416880001083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45076233--1.45037883) × cos(-1.24344858) × R
    0.000383500000000092 × 0.321532747767724 × 6371000     		do = 785.594049666992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45076233--1.45037883) × cos(-1.24357186) × R
    0.000383500000000092 × 0.321416011682644 × 6371000     		du = 785.30883090014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24344858)-sin(-1.24357186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321532747767724-0.321416011682644)×R²
    abs(-1.45037883--1.45076233)×0.000116736085080338×R²
    0.000383500000000092×0.000116736085080338×6371000²
    0.000383500000000092×0.000116736085080338×40589641000000     		ar = 616906.820400008m²