Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4407 / 12904
S 71.357067°
W 83.166504°
← 781.02 m → S 71.357067°
W 83.144532°

780.89 m

780.89 m
S 71.364090°
W 83.166504°
← 780.74 m →
609 783 m²
S 71.364090°
W 83.144532°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269012451171875 y=0.787628173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269012451171875 × 214)
    floor (0.269012451171875 × 16384)
    floor (4407.5)
    tx = 4407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787628173828125 × 214)
    floor (0.787628173828125 × 16384)
    floor (12904.5)
    ty = 12904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4407 / 12904 ti = "14/4407/12904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4407/12904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4407 ÷ 214
    4407 ÷ 16384
    x = 0.26898193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12904 ÷ 214
    12904 ÷ 16384
    y = 0.78759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.26898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.4620361328125 × 3.1415926535
    Λ = -1.45152932
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.78759765625 × 2 - 1) × π
    -0.5751953125 × 3.1415926535
    Φ = -1.80702936807764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45152932} λ = -1.45152932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80702936807764))-π/2
    2×atan(0.164141015816843)-π/2
    2×0.162690285477853-π/2
    0.325380570955705-1.57079632675
    φ = -1.24541576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45152932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.166504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24541576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.357067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4407 KachelY 12904 -1.45152932 -1.24541576 -83.166504 -71.357067
    Oben rechts KachelX + 1 4408 KachelY 12904 -1.45114583 -1.24541576 -83.144532 -71.357067
    Unten links KachelX 4407 KachelY + 1 12905 -1.45152932 -1.24553833 -83.166504 -71.364090
    Unten rechts KachelX + 1 4408 KachelY + 1 12905 -1.45114583 -1.24553833 -83.144532 -71.364090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.24541576--1.24553833) × R
    0.000122570000000044 × 6371000
    dl = 780.893470000281m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.24541576--1.24553833) × R
    0.000122570000000044 × 6371000
    dr = 780.893470000281m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45152932--1.45114583) × cos(-1.24541576) × R
    0.000383489999999931 × 0.31966940712501 × 6371000
    do = 781.021023398215m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45152932--1.45114583) × cos(-1.24553833) × R
    0.000383489999999931 × 0.319553266077414 × 6371000
    du = 780.737265873003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.24541576)-sin(-1.24553833))×
    abs(λ12)×abs(0.31966940712501-0.319553266077414)×
    abs(-1.45114583--1.45152932)×0.000116141047595775×
    0.000383489999999931×0.000116141047595775×6371000²
    0.000383489999999931×0.000116141047595775×40589641000000
    ar = 609783.425669754m²