Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4407 / 12891
↖ ↑ ↗
← S 71.265539°
W 83.166504°		 ← 784.72 m → S 71.265539°
W 83.144532°		 →
↑
784.59 m
↓
↑
784.59 m
↓
S 71.272594°
W 83.166504°		 ← 784.43 m →
615 569 m²		 S 71.272594°
W 83.144532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269012451171875 y=0.786834716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269012451171875 × 214)
    floor (0.269012451171875 × 16384)
    floor (4407.5)     		tx = 4407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786834716796875 × 214)
    floor (0.786834716796875 × 16384)
    floor (12891.5)     		ty = 12891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4407 / 12891 ti = "14/4407/12891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4407/12891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4407 ÷ 214
    4407 ÷ 16384     		x = 0.26898193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12891 ÷ 214
    12891 ÷ 16384     		y = 0.78680419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.4620361328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45152932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78680419921875 × 2 - 1) × π
    -0.5736083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80204393051715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45152932} λ = -1.45152932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80204393051715))-π/2
    2×atan(0.164961373824988)-π/2
    2×0.163489016139354-π/2
    0.326978032278707-1.57079632675     		φ = -1.24381829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45152932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.166504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24381829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.265539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4407 KachelY 12891 -1.45152932 -1.24381829 -83.166504 -71.265539
    Oben rechts KachelX + 1 4408 KachelY 12891 -1.45114583 -1.24381829 -83.144532 -71.265539
    Unten links KachelX 4407 KachelY + 1 12892 -1.45152932 -1.24394144 -83.166504 -71.272594
    Unten rechts KachelX + 1 4408 KachelY + 1 12892 -1.45114583 -1.24394144 -83.144532 -71.272594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24381829--1.24394144) × R
    0.00012314999999985 × 6371000     		dl = 784.588649999043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24381829--1.24394144) × R
    0.00012314999999985 × 6371000     		dr = 784.588649999043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45152932--1.45114583) × cos(-1.24381829) × R
    0.000383489999999931 × 0.321182647971903 × 6371000     		do = 784.718195816176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45152932--1.45114583) × cos(-1.24394144) × R
    0.000383489999999931 × 0.32106602036008 × 6371000     		du = 784.433249510046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24381829)-sin(-1.24394144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321182647971903-0.32106602036008)×R²
    abs(-1.45114583--1.45152932)×0.000116627611823683×R²
    0.000383489999999931×0.000116627611823683×6371000²
    0.000383489999999931×0.000116627611823683×40589641000000     		ar = 615569.20784445m²