Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4406 / 12902
↖ ↑ ↗
← S 71.343013°
W 83.188477°		 ← 781.61 m → S 71.343013°
W 83.166504°		 →
↑
781.47 m
↓
↑
781.47 m
↓
S 71.350041°
W 83.188477°		 ← 781.33 m →
610 691 m²		 S 71.350041°
W 83.166504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268951416015625 y=0.787506103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268951416015625 × 214)
    floor (0.268951416015625 × 16384)
    floor (4406.5)     		tx = 4406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787506103515625 × 214)
    floor (0.787506103515625 × 16384)
    floor (12902.5)     		ty = 12902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4406 / 12902 ti = "14/4406/12902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4406/12902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4406 ÷ 214
    4406 ÷ 16384     		x = 0.2689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12902 ÷ 214
    12902 ÷ 16384     		y = 0.7874755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.462158203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45191282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7874755859375 × 2 - 1) × π
    -0.574951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80626237768372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45191282} λ = -1.45191282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80626237768372))-π/2
    2×atan(0.164266958691536)-π/2
    2×0.162812921717668-π/2
    0.325625843435337-1.57079632675     		φ = -1.24517048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45191282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.188477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24517048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.343013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4406 KachelY 12902 -1.45191282 -1.24517048 -83.188477 -71.343013
    Oben rechts KachelX + 1 4407 KachelY 12902 -1.45152932 -1.24517048 -83.166504 -71.343013
    Unten links KachelX 4406 KachelY + 1 12903 -1.45191282 -1.24529314 -83.188477 -71.350041
    Unten rechts KachelX + 1 4407 KachelY + 1 12903 -1.45152932 -1.24529314 -83.166504 -71.350041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24517048--1.24529314) × R
    0.000122659999999941 × 6371000     		dl = 781.466859999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24517048--1.24529314) × R
    0.000122659999999941 × 6371000     		dr = 781.466859999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45191282--1.45152932) × cos(-1.24517048) × R
    0.000383500000000092 × 0.319901807453989 × 6371000     		do = 781.609208263659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45191282--1.45152932) × cos(-1.24529314) × R
    0.000383500000000092 × 0.31978559074458 × 6371000     		du = 781.325258476219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24517048)-sin(-1.24529314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319901807453989-0.31978559074458)×R²
    abs(-1.45152932--1.45191282)×0.000116216709409422×R²
    0.000383500000000092×0.000116216709409422×6371000²
    0.000383500000000092×0.000116216709409422×40589641000000     		ar = 610690.745819754m²