Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 44028 / 9221
↖ ↑ ↗
← N 78.056306°
E 61.853027°		 ← 126.40 m → N 78.056306°
E 61.858520°		 →
↑
126.40 m
↓
↑
126.40 m
↓
N 78.055170°
E 61.853027°		 ← 126.41 m →
15 978 m²		 N 78.055170°
E 61.858520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.671821594238281 y=0.140708923339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.671821594238281 × 216)
    floor (0.671821594238281 × 65536)
    floor (44028.5)     		tx = 44028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140708923339844 × 216)
    floor (0.140708923339844 × 65536)
    floor (9221.5)     		ty = 9221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 44028 / 9221 ti = "16/44028/9221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/44028/9221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44028 ÷ 216
    44028 ÷ 65536     		x = 0.67181396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9221 ÷ 216
    9221 ÷ 65536     		y = 0.140701293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.67181396484375 × 2 - 1) × π
    0.3436279296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.07953898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140701293945312 × 2 - 1) × π
    0.718597412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25754035070692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07953898} λ = 1.07953898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25754035070692))-π/2
    2×atan(9.55954709276159)-π/2
    2×1.46656793821579-π/2
    2.93313587643159-1.57079632675     		φ = 1.36233955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07953898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.853027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36233955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.056306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44028 KachelY 9221 1.07953898 1.36233955 61.853027 78.056306
    Oben rechts KachelX + 1 44029 KachelY 9221 1.07963485 1.36233955 61.858520 78.056306
    Unten links KachelX 44028 KachelY + 1 9222 1.07953898 1.36231971 61.853027 78.055170
    Unten rechts KachelX + 1 44029 KachelY + 1 9222 1.07963485 1.36231971 61.858520 78.055170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36233955-1.36231971) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dl = 126.400639999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36233955-1.36231971) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dr = 126.400639999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07953898-1.07963485) × cos(1.36233955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20695033221475 × 6371000     		do = 126.402731914203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07953898-1.07963485) × cos(1.36231971) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206969742666789 × 6371000     		du = 126.414587580919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36233955)-sin(1.36231971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20695033221475-0.206969742666789)×R²
    abs(1.07963485-1.07953898)×1.94104520390703e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94104520390703e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94104520390703e-05×40589641000000     		ar = 15978.1354941724m²