Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4400 / 5999
↖ ↑ ↗
← S 63.840668°
E 13.359375°		 ← 2 154.30 m → S 63.840668°
E 13.403320°		 →
↑
2 153.59 m
↓
↑
2 153.59 m
↓
S 63.860036°
E 13.359375°		 ← 2 152.82 m →
4 637 887 m²		 S 63.860036°
E 13.403320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53717041015625 y=0.73236083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53717041015625 × 213)
    floor (0.53717041015625 × 8192)
    floor (4400.5)     		tx = 4400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73236083984375 × 213)
    floor (0.73236083984375 × 8192)
    floor (5999.5)     		ty = 5999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4400 / 5999 ti = "13/4400/5999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4400/5999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4400 ÷ 213
    4400 ÷ 8192     		x = 0.537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5999 ÷ 213
    5999 ÷ 8192     		y = 0.7322998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.537109375 × 2 - 1) × π
    0.07421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23316508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7322998046875 × 2 - 1) × π
    -0.464599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45958271963147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23316508} λ = 0.23316508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45958271963147))-π/2
    2×atan(0.232333202589704)-π/2
    2×0.228283232905713-π/2
    0.456566465811426-1.57079632675     		φ = -1.11422986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23316508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11422986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.840668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4400 KachelY 5999 0.23316508 -1.11422986 13.359375 -63.840668
    Oben rechts KachelX + 1 4401 KachelY 5999 0.23393207 -1.11422986 13.403320 -63.840668
    Unten links KachelX 4400 KachelY + 1 6000 0.23316508 -1.11456789 13.359375 -63.860036
    Unten rechts KachelX + 1 4401 KachelY + 1 6000 0.23393207 -1.11456789 13.403320 -63.860036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11422986--1.11456789) × R
    0.000338029999999989 × 6371000     		dl = 2153.58912999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11422986--1.11456789) × R
    0.000338029999999989 × 6371000     		dr = 2153.58912999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23316508-0.23393207) × cos(-1.11422986) × R
    0.000766989999999995 × 0.440868870123979 × 6371000     		do = 2154.30277563069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23316508-0.23393207) × cos(-1.11456789) × R
    0.000766989999999995 × 0.44056543883997 × 6371000     		du = 2152.8200606974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11422986)-sin(-1.11456789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440868870123979-0.44056543883997)×R²
    abs(0.23393207-0.23316508)×0.000303431284009226×R²
    0.000766989999999995×0.000303431284009226×6371000²
    0.000766989999999995×0.000303431284009226×40589641000000     		ar = 4637886.50510871m²