Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4400 / 5776
↖ ↑ ↗
← N 75.095633°
W131.660156°		 ← 314.21 m → N 75.095633°
W131.649170°		 →
↑
314.28 m
↓
↑
314.28 m
↓
N 75.092807°
W131.660156°		 ← 314.27 m →
98 761 m²		 N 75.092807°
W131.649170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.134292602539062 y=0.176284790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.134292602539062 × 215)
    floor (0.134292602539062 × 32768)
    floor (4400.5)     		tx = 4400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.176284790039062 × 215)
    floor (0.176284790039062 × 32768)
    floor (5776.5)     		ty = 5776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4400 / 5776 ti = "15/4400/5776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4400/5776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4400 ÷ 215
    4400 ÷ 32768     		x = 0.13427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5776 ÷ 215
    5776 ÷ 32768     		y = 0.17626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13427734375 × 2 - 1) × π
    -0.7314453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.29790322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17626953125 × 2 - 1) × π
    0.6474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.03405852467822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29790322} λ = -2.29790322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03405852467822))-π/2
    2×atan(7.64505110926791)-π/2
    2×1.44073118588072-π/2
    2.88146237176145-1.57079632675     		φ = 1.31066605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29790322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.660156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31066605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.095633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4400 KachelY 5776 -2.29790322 1.31066605 -131.660156 75.095633
    Oben rechts KachelX + 1 4401 KachelY 5776 -2.29771147 1.31066605 -131.649170 75.095633
    Unten links KachelX 4400 KachelY + 1 5777 -2.29790322 1.31061672 -131.660156 75.092807
    Unten rechts KachelX + 1 4401 KachelY + 1 5777 -2.29771147 1.31061672 -131.649170 75.092807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31066605-1.31061672) × R
    4.93299999999586e-05 × 6371000     		dl = 314.281429999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31066605-1.31061672) × R
    4.93299999999586e-05 × 6371000     		dr = 314.281429999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29790322--2.29771147) × cos(1.31066605) × R
    0.000191749999999935 × 0.257206447899179 × 6371000     		do = 314.213492106611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29790322--2.29771147) × cos(1.31061672) × R
    0.000191749999999935 × 0.257254117951285 × 6371000     		du = 314.271727713313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31066605)-sin(1.31061672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.257206447899179-0.257254117951285)×R²
    abs(-2.29771147--2.29790322)×4.76700521059858e-05×R²
    0.000191749999999935×4.76700521059858e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.76700521059858e-05×40589641000000     		ar = 98760.6168296847m²