Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4400 / 2800
↖ ↑ ↗
← N 75.584937°
W 83.320313°		 ← 608.24 m → N 75.584937°
W 83.298340°		 →
↑
608.30 m
↓
↑
608.30 m
↓
N 75.579467°
W 83.320313°		 ← 608.47 m →
370 063 m²		 N 75.579467°
W 83.298340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268585205078125 y=0.170928955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268585205078125 × 214)
    floor (0.268585205078125 × 16384)
    floor (4400.5)     		tx = 4400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170928955078125 × 214)
    floor (0.170928955078125 × 16384)
    floor (2800.5)     		ty = 2800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4400 / 2800 ti = "14/4400/2800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4400/2800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4400 ÷ 214
    4400 ÷ 16384     		x = 0.2685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2800 ÷ 214
    2800 ÷ 16384     		y = 0.1708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2685546875 × 2 - 1) × π
    -0.462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.45421379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1708984375 × 2 - 1) × π
    0.658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06780610201074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45421379} λ = -1.45421379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06780610201074))-π/2
    2×atan(7.90745592223974)-π/2
    2×1.44500117473785-π/2
    2.89000234947569-1.57079632675     		φ = 1.31920602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45421379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.320313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31920602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.584937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4400 KachelY 2800 -1.45421379 1.31920602 -83.320313 75.584937
    Oben rechts KachelX + 1 4401 KachelY 2800 -1.45383029 1.31920602 -83.298340 75.584937
    Unten links KachelX 4400 KachelY + 1 2801 -1.45421379 1.31911054 -83.320313 75.579467
    Unten rechts KachelX + 1 4401 KachelY + 1 2801 -1.45383029 1.31911054 -83.298340 75.579467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31920602-1.31911054) × R
    9.54799999999256e-05 × 6371000     		dl = 608.303079999526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31920602-1.31911054) × R
    9.54799999999256e-05 × 6371000     		dr = 608.303079999526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45421379--1.45383029) × cos(1.31920602) × R
    0.000383500000000092 × 0.248944513761329 × 6371000     		do = 608.240778166155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45421379--1.45383029) × cos(1.31911054) × R
    0.000383500000000092 × 0.249036986701068 × 6371000     		du = 608.466715311651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31920602)-sin(1.31911054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248944513761329-0.249036986701068)×R²
    abs(-1.45383029--1.45421379)×9.24729397390189e-05×R²
    0.000383500000000092×9.24729397390189e-05×6371000²
    0.000383500000000092×9.24729397390189e-05×40589641000000     		ar = 370063.458150181m²