Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4398 / 5998
↖ ↑ ↗
← S 63.821288°
E 13.271484°		 ← 2 155.79 m → S 63.821288°
E 13.315430°		 →
↑
2 155.05 m
↓
↑
2 155.05 m
↓
S 63.840668°
E 13.271484°		 ← 2 154.30 m →
4 644 238 m²		 S 63.840668°
E 13.315430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53692626953125 y=0.73223876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53692626953125 × 213)
    floor (0.53692626953125 × 8192)
    floor (4398.5)     		tx = 4398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73223876953125 × 213)
    floor (0.73223876953125 × 8192)
    floor (5998.5)     		ty = 5998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4398 / 5998 ti = "13/4398/5998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4398/5998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4398 ÷ 213
    4398 ÷ 8192     		x = 0.536865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5998 ÷ 213
    5998 ÷ 8192     		y = 0.732177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.536865234375 × 2 - 1) × π
    0.07373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23163110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732177734375 × 2 - 1) × π
    -0.46435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45881572923755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23163110} λ = 0.23163110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45881572923755))-π/2
    2×atan(0.232511468279576)-π/2
    2×0.228452362206389-π/2
    0.456904724412777-1.57079632675     		φ = -1.11389160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23163110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11389160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.821288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4398 KachelY 5998 0.23163110 -1.11389160 13.271484 -63.821288
    Oben rechts KachelX + 1 4399 KachelY 5998 0.23239809 -1.11389160 13.315430 -63.821288
    Unten links KachelX 4398 KachelY + 1 5999 0.23163110 -1.11422986 13.271484 -63.840668
    Unten rechts KachelX + 1 4399 KachelY + 1 5999 0.23239809 -1.11422986 13.315430 -63.840668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11389160--1.11422986) × R
    0.000338259999999924 × 6371000     		dl = 2155.05445999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11389160--1.11422986) × R
    0.000338259999999924 × 6371000     		dr = 2155.05445999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23163110-0.23239809) × cos(-1.11389160) × R
    0.000766989999999995 × 0.441172457439575 × 6371000     		do = 2155.78625301128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23163110-0.23239809) × cos(-1.11422986) × R
    0.000766989999999995 × 0.440868870123979 × 6371000     		du = 2154.30277563069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11389160)-sin(-1.11422986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441172457439575-0.440868870123979)×R²
    abs(0.23239809-0.23163110)×0.000303587315595988×R²
    0.000766989999999995×0.000303587315595988×6371000²
    0.000766989999999995×0.000303587315595988×40589641000000     		ar = 4644238.33636847m²