Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4397 / 2801
↖ ↑ ↗
← N 75.579467°
W 83.386230°		 ← 608.45 m → N 75.579467°
W 83.364258°		 →
↑
608.62 m
↓
↑
608.62 m
↓
N 75.573993°
W 83.386230°		 ← 608.68 m →
370 385 m²		 N 75.573993°
W 83.364258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268402099609375 y=0.170989990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268402099609375 × 214)
    floor (0.268402099609375 × 16384)
    floor (4397.5)     		tx = 4397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170989990234375 × 214)
    floor (0.170989990234375 × 16384)
    floor (2801.5)     		ty = 2801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4397 / 2801 ti = "14/4397/2801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4397/2801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4397 ÷ 214
    4397 ÷ 16384     		x = 0.26837158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2801 ÷ 214
    2801 ÷ 16384     		y = 0.17095947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26837158203125 × 2 - 1) × π
    -0.4632568359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.45536427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17095947265625 × 2 - 1) × π
    0.6580810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06742260681378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45536427} λ = -1.45536427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06742260681378))-π/2
    2×atan(7.90442403226817)-π/2
    2×1.44495343135983-π/2
    2.88990686271966-1.57079632675     		φ = 1.31911054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45536427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.386230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31911054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.579467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4397 KachelY 2801 -1.45536427 1.31911054 -83.386230 75.579467
    Oben rechts KachelX + 1 4398 KachelY 2801 -1.45498078 1.31911054 -83.364258 75.579467
    Unten links KachelX 4397 KachelY + 1 2802 -1.45536427 1.31901501 -83.386230 75.573993
    Unten rechts KachelX + 1 4398 KachelY + 1 2802 -1.45498078 1.31901501 -83.364258 75.573993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31911054-1.31901501) × R
    9.55300000000658e-05 × 6371000     		dl = 608.621630000419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31911054-1.31901501) × R
    9.55300000000658e-05 × 6371000     		dr = 608.621630000419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45536427--1.45498078) × cos(1.31911054) × R
    0.000383489999999931 × 0.249036986701068 × 6371000     		do = 608.450849164973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45536427--1.45498078) × cos(1.31901501) × R
    0.000383489999999931 × 0.249129505793988 × 6371000     		du = 608.676893181152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31911054)-sin(1.31901501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249036986701068-0.249129505793988)×R²
    abs(-1.45498078--1.45536427)×9.25190929201292e-05×R²
    0.000383489999999931×9.25190929201292e-05×6371000²
    0.000383489999999931×9.25190929201292e-05×40589641000000     		ar = 370385.13551422m²