Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4394 / 12886
↖ ↑ ↗
← S 71.230221°
W 83.452149°		 ← 786.16 m → S 71.230221°
W 83.430176°		 →
↑
785.99 m
↓
↑
785.99 m
↓
S 71.237289°
W 83.452149°		 ← 785.88 m →
617 806 m²		 S 71.237289°
W 83.430176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268218994140625 y=0.786529541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268218994140625 × 214)
    floor (0.268218994140625 × 16384)
    floor (4394.5)     		tx = 4394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786529541015625 × 214)
    floor (0.786529541015625 × 16384)
    floor (12886.5)     		ty = 12886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4394 / 12886 ti = "14/4394/12886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4394/12886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4394 ÷ 214
    4394 ÷ 16384     		x = 0.2681884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12886 ÷ 214
    12886 ÷ 16384     		y = 0.7864990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2681884765625 × 2 - 1) × π
    -0.463623046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45651476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7864990234375 × 2 - 1) × π
    -0.572998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80012645453235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45651476} λ = -1.45651476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80012645453235))-π/2
    2×atan(0.165277986749549)-π/2
    2×0.16379722587457-π/2
    0.327594451749139-1.57079632675     		φ = -1.24320188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45651476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.452149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24320188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.230221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4394 KachelY 12886 -1.45651476 -1.24320188 -83.452149 -71.230221
    Oben rechts KachelX + 1 4395 KachelY 12886 -1.45613126 -1.24320188 -83.430176 -71.230221
    Unten links KachelX 4394 KachelY + 1 12887 -1.45651476 -1.24332525 -83.452149 -71.237289
    Unten rechts KachelX + 1 4395 KachelY + 1 12887 -1.45613126 -1.24332525 -83.430176 -71.237289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24320188--1.24332525) × R
    0.000123370000000067 × 6371000     		dl = 785.990270000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24320188--1.24332525) × R
    0.000123370000000067 × 6371000     		dr = 785.990270000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45651476--1.45613126) × cos(-1.24320188) × R
    0.00038349999999987 × 0.321766337830865 × 6371000     		do = 786.164775245622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45651476--1.45613126) × cos(-1.24332525) × R
    0.00038349999999987 × 0.321649526309103 × 6371000     		du = 785.879372165949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24320188)-sin(-1.24332525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321766337830865-0.321649526309103)×R²
    abs(-1.45613126--1.45651476)×0.000116811521761573×R²
    0.00038349999999987×0.000116811521761573×6371000²
    0.00038349999999987×0.000116811521761573×40589641000000     		ar = 617805.702722269m²