Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4393 / 6009
↖ ↑ ↗
← S 64.033744°
E 13.051758°		 ← 2 139.51 m → S 64.033744°
E 13.095703°		 →
↑
2 138.81 m
↓
↑
2 138.81 m
↓
S 64.052978°
E 13.051758°		 ← 2 138.04 m →
4 574 426 m²		 S 64.052978°
E 13.095703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53631591796875 y=0.73358154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53631591796875 × 213)
    floor (0.53631591796875 × 8192)
    floor (4393.5)     		tx = 4393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73358154296875 × 213)
    floor (0.73358154296875 × 8192)
    floor (6009.5)     		ty = 6009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4393 / 6009 ti = "13/4393/6009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4393/6009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4393 ÷ 213
    4393 ÷ 8192     		x = 0.5362548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6009 ÷ 213
    6009 ÷ 8192     		y = 0.7335205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5362548828125 × 2 - 1) × π
    0.072509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22779615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7335205078125 × 2 - 1) × π
    -0.467041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46725262357068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22779615} λ = 0.22779615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46725262357068))-π/2
    2×atan(0.23055804558811)-π/2
    2×0.226598331499785-π/2
    0.45319666299957-1.57079632675     		φ = -1.11759966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22779615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.051758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11759966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.033744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4393 KachelY 6009 0.22779615 -1.11759966 13.051758 -64.033744
    Oben rechts KachelX + 1 4394 KachelY 6009 0.22856314 -1.11759966 13.095703 -64.033744
    Unten links KachelX 4393 KachelY + 1 6010 0.22779615 -1.11793537 13.051758 -64.052978
    Unten rechts KachelX + 1 4394 KachelY + 1 6010 0.22856314 -1.11793537 13.095703 -64.052978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11759966--1.11793537) × R
    0.0003357100000001 × 6371000     		dl = 2138.80841000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11759966--1.11793537) × R
    0.0003357100000001 × 6371000     		dr = 2138.80841000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22779615-0.22856314) × cos(-1.11759966) × R
    0.000766989999999995 × 0.437841736176989 × 6371000     		do = 2139.51070591079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22779615-0.22856314) × cos(-1.11793537) × R
    0.000766989999999995 × 0.437539890741556 × 6371000     		du = 2138.03574021593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11759966)-sin(-1.11793537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437841736176989-0.437539890741556)×R²
    abs(0.22856314-0.22779615)×0.00030184543543349×R²
    0.000766989999999995×0.00030184543543349×6371000²
    0.000766989999999995×0.00030184543543349×40589641000000     		ar = 4574426.19953306m²