Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4393 / 5992
↖ ↑ ↗
← S 63.704723°
E 13.051758°		 ← 2 164.70 m → S 63.704723°
E 13.095703°		 →
↑
2 163.91 m
↓
↑
2 163.91 m
↓
S 63.724183°
E 13.051758°		 ← 2 163.22 m →
4 682 613 m²		 S 63.724183°
E 13.095703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53631591796875 y=0.73150634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53631591796875 × 213)
    floor (0.53631591796875 × 8192)
    floor (4393.5)     		tx = 4393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73150634765625 × 213)
    floor (0.73150634765625 × 8192)
    floor (5992.5)     		ty = 5992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4393 / 5992 ti = "13/4393/5992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4393/5992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4393 ÷ 213
    4393 ÷ 8192     		x = 0.5362548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5992 ÷ 213
    5992 ÷ 8192     		y = 0.7314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5362548828125 × 2 - 1) × π
    0.072509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22779615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7314453125 × 2 - 1) × π
    -0.462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45421378687402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22779615} λ = 0.22779615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45421378687402))-π/2
    2×atan(0.233583938485776)-π/2
    2×0.229469585675309-π/2
    0.458939171350619-1.57079632675     		φ = -1.11185716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22779615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.051758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11185716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.704723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4393 KachelY 5992 0.22779615 -1.11185716 13.051758 -63.704723
    Oben rechts KachelX + 1 4394 KachelY 5992 0.22856314 -1.11185716 13.095703 -63.704723
    Unten links KachelX 4393 KachelY + 1 5993 0.22779615 -1.11219681 13.051758 -63.724183
    Unten rechts KachelX + 1 4394 KachelY + 1 5993 0.22856314 -1.11219681 13.095703 -63.724183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11185716--1.11219681) × R
    0.000339649999999914 × 6371000     		dl = 2163.91014999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11185716--1.11219681) × R
    0.000339649999999914 × 6371000     		dr = 2163.91014999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22779615-0.22856314) × cos(-1.11185716) × R
    0.000766989999999995 × 0.442997295098646 × 6371000     		do = 2164.70330998767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22779615-0.22856314) × cos(-1.11219681) × R
    0.000766989999999995 × 0.442692765532613 × 6371000     		du = 2163.21522830664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11185716)-sin(-1.11219681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442997295098646-0.442692765532613)×R²
    abs(0.22856314-0.22779615)×0.000304529566033607×R²
    0.000766989999999995×0.000304529566033607×6371000²
    0.000766989999999995×0.000304529566033607×40589641000000     		ar = 4682613.47170957m²