Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4392 / 5993
↖ ↑ ↗
← S 63.724183°
E 13.007813°		 ← 2 163.22 m → S 63.724183°
E 13.051758°		 →
↑
2 162.51 m
↓
↑
2 162.51 m
↓
S 63.743631°
E 13.007813°		 ← 2 161.73 m →
4 676 363 m²		 S 63.743631°
E 13.051758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53619384765625 y=0.73162841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53619384765625 × 213)
    floor (0.53619384765625 × 8192)
    floor (4392.5)     		tx = 4392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73162841796875 × 213)
    floor (0.73162841796875 × 8192)
    floor (5993.5)     		ty = 5993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4392 / 5993 ti = "13/4392/5993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4392/5993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4392 ÷ 213
    4392 ÷ 8192     		x = 0.5361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5993 ÷ 213
    5993 ÷ 8192     		y = 0.7315673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5361328125 × 2 - 1) × π
    0.072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22702916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7315673828125 × 2 - 1) × π
    -0.463134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45498077726794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22702916} λ = 0.22702916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45498077726794))-π/2
    2×atan(0.233404850536931)-π/2
    2×0.229299756738033-π/2
    0.458599513476066-1.57079632675     		φ = -1.11219681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22702916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11219681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.724183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4392 KachelY 5993 0.22702916 -1.11219681 13.007813 -63.724183
    Oben rechts KachelX + 1 4393 KachelY 5993 0.22779615 -1.11219681 13.051758 -63.724183
    Unten links KachelX 4392 KachelY + 1 5994 0.22702916 -1.11253624 13.007813 -63.743631
    Unten rechts KachelX + 1 4393 KachelY + 1 5994 0.22779615 -1.11253624 13.051758 -63.743631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11219681--1.11253624) × R
    0.00033943000000014 × 6371000     		dl = 2162.5085300009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11219681--1.11253624) × R
    0.00033943000000014 × 6371000     		dr = 2162.5085300009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22702916-0.22779615) × cos(-1.11219681) × R
    0.000766989999999995 × 0.442692765532613 × 6371000     		do = 2163.21522830664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22702916-0.22779615) × cos(-1.11253624) × R
    0.000766989999999995 × 0.442388382197799 × 6371000     		du = 2161.72786118349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11219681)-sin(-1.11253624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442692765532613-0.442388382197799)×R²
    abs(0.22779615-0.22702916)×0.000304383334813862×R²
    0.000766989999999995×0.000304383334813862×6371000²
    0.000766989999999995×0.000304383334813862×40589641000000     		ar = 4676363.20629327m²