Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4392 / 12919
↖ ↑ ↗
← S 71.462140°
W 83.496094°		 ← 776.79 m → S 71.462140°
W 83.474121°		 →
↑
776.62 m
↓
↑
776.62 m
↓
S 71.469124°
W 83.496094°		 ← 776.51 m →
603 168 m²		 S 71.469124°
W 83.474121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.268096923828125 y=0.788543701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.268096923828125 × 214)
    floor (0.268096923828125 × 16384)
    floor (4392.5)     		tx = 4392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788543701171875 × 214)
    floor (0.788543701171875 × 16384)
    floor (12919.5)     		ty = 12919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4392 / 12919 ti = "14/4392/12919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4392/12919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4392 ÷ 214
    4392 ÷ 16384     		x = 0.26806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12919 ÷ 214
    12919 ÷ 16384     		y = 0.78851318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26806640625 × 2 - 1) × π
    -0.4638671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45728175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78851318359375 × 2 - 1) × π
    -0.5770263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81278179603204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45728175} λ = -1.45728175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81278179603204))-π/2
    2×atan(0.163199516997273)-π/2
    2×0.161773349558116-π/2
    0.323546699116233-1.57079632675     		φ = -1.24724963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45728175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.496094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24724963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.462140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4392 KachelY 12919 -1.45728175 -1.24724963 -83.496094 -71.462140
    Oben rechts KachelX + 1 4393 KachelY 12919 -1.45689825 -1.24724963 -83.474121 -71.462140
    Unten links KachelX 4392 KachelY + 1 12920 -1.45728175 -1.24737153 -83.496094 -71.469124
    Unten rechts KachelX + 1 4393 KachelY + 1 12920 -1.45689825 -1.24737153 -83.474121 -71.469124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24724963--1.24737153) × R
    0.000121899999999897 × 6371000     		dl = 776.624899999344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24724963--1.24737153) × R
    0.000121899999999897 × 6371000     		dr = 776.624899999344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45728175--1.45689825) × cos(-1.24724963) × R
    0.00038349999999987 × 0.317931225299367 × 6371000     		do = 776.794527252336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45728175--1.45689825) × cos(-1.24737153) × R
    0.00038349999999987 × 0.317815647867951 × 6371000     		du = 776.512139399074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24724963)-sin(-1.24737153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317931225299367-0.317815647867951)×R²
    abs(-1.45689825--1.45728175)×0.000115577431415437×R²
    0.00038349999999987×0.000115577431415437×6371000²
    0.00038349999999987×0.000115577431415437×40589641000000     		ar = 603168.318075523m²