Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4389 / 12883
↖ ↑ ↗
← S 71.208999°
W 83.562011°		 ← 787 m → S 71.208999°
W 83.540039°		 →
↑
786.82 m
↓
↑
786.82 m
↓
S 71.216075°
W 83.562011°		 ← 786.72 m →
619 115 m²		 S 71.216075°
W 83.540039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267913818359375 y=0.786346435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267913818359375 × 214)
    floor (0.267913818359375 × 16384)
    floor (4389.5)     		tx = 4389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786346435546875 × 214)
    floor (0.786346435546875 × 16384)
    floor (12883.5)     		ty = 12883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4389 / 12883 ti = "14/4389/12883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4389/12883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4389 ÷ 214
    4389 ÷ 16384     		x = 0.26788330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12883 ÷ 214
    12883 ÷ 16384     		y = 0.78631591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26788330078125 × 2 - 1) × π
    -0.4642333984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.45843223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78631591796875 × 2 - 1) × π
    -0.5726318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79897596894147
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45843223} λ = -1.45843223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79897596894147))-π/2
    2×atan(0.165468246116139)-π/2
    2×0.163982420488785-π/2
    0.32796484097757-1.57079632675     		φ = -1.24283149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45843223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.562011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24283149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.208999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4389 KachelY 12883 -1.45843223 -1.24283149 -83.562011 -71.208999
    Oben rechts KachelX + 1 4390 KachelY 12883 -1.45804874 -1.24283149 -83.540039 -71.208999
    Unten links KachelX 4389 KachelY + 1 12884 -1.45843223 -1.24295499 -83.562011 -71.216075
    Unten rechts KachelX + 1 4390 KachelY + 1 12884 -1.45804874 -1.24295499 -83.540039 -71.216075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24283149--1.24295499) × R
    0.000123500000000165 × 6371000     		dl = 786.818500001052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24283149--1.24295499) × R
    0.000123500000000165 × 6371000     		dr = 786.818500001052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45843223--1.45804874) × cos(-1.24283149) × R
    0.000383490000000153 × 0.322117008081008 × 6371000     		do = 787.001038254382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45843223--1.45804874) × cos(-1.24295499) × R
    0.000383490000000153 × 0.322000088191557 × 6371000     		du = 786.715377851229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24283149)-sin(-1.24295499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322117008081008-0.322000088191557)×R²
    abs(-1.45804874--1.45843223)×0.000116919889451172×R²
    0.000383490000000153×0.000116919889451172×6371000²
    0.000383490000000153×0.000116919889451172×40589641000000     		ar = 619114.595760178m²