Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4387 / 6109
↖ ↑ ↗
← S 65.892680°
E 12.788086°		 ← 1 995.90 m → S 65.892680°
E 12.832032°		 →
↑
1 995.21 m
↓
↑
1 995.21 m
↓
S 65.910623°
E 12.788086°		 ← 1 994.50 m →
3 980 838 m²		 S 65.910623°
E 12.832032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53558349609375 y=0.74578857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53558349609375 × 213)
    floor (0.53558349609375 × 8192)
    floor (4387.5)     		tx = 4387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74578857421875 × 213)
    floor (0.74578857421875 × 8192)
    floor (6109.5)     		ty = 6109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4387 / 6109 ti = "13/4387/6109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4387/6109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4387 ÷ 213
    4387 ÷ 8192     		x = 0.5355224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6109 ÷ 213
    6109 ÷ 8192     		y = 0.7457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5355224609375 × 2 - 1) × π
    0.071044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22319420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.491455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54395166296277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22319420} λ = 0.22319420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54395166296277))-π/2
    2×atan(0.213535611214969)-π/2
    2×0.210376051397697-π/2
    0.420752102795394-1.57079632675     		φ = -1.15004422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22319420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.788086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15004422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.892680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4387 KachelY 6109 0.22319420 -1.15004422 12.788086 -65.892680
    Oben rechts KachelX + 1 4388 KachelY 6109 0.22396120 -1.15004422 12.832032 -65.892680
    Unten links KachelX 4387 KachelY + 1 6110 0.22319420 -1.15035739 12.788086 -65.910623
    Unten rechts KachelX + 1 4388 KachelY + 1 6110 0.22396120 -1.15035739 12.832032 -65.910623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15004422--1.15035739) × R
    0.000313169999999863 × 6371000     		dl = 1995.20606999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15004422--1.15035739) × R
    0.000313169999999863 × 6371000     		dr = 1995.20606999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22319420-0.22396120) × cos(-1.15004422) × R
    0.00076699999999999 × 0.408447078063352 × 6371000     		do = 1995.89992843999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22319420-0.22396120) × cos(-1.15035739) × R
    0.00076699999999999 × 0.40816120209893 × 6371000     		du = 1994.50297924491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15004422)-sin(-1.15035739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408447078063352-0.40816120209893)×R²
    abs(0.22396120-0.22319420)×0.000285875964422533×R²
    0.00076699999999999×0.000285875964422533×6371000²
    0.00076699999999999×0.000285875964422533×40589641000000     		ar = 3980838.08411061m²