Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4387 / 5983
↖ ↑ ↗
← S 63.528971°
E 12.788086°		 ← 2 178.16 m → S 63.528971°
E 12.832032°		 →
↑
2 177.35 m
↓
↑
2 177.35 m
↓
S 63.548552°
E 12.788086°		 ← 2 176.66 m →
4 740 995 m²		 S 63.548552°
E 12.832032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53558349609375 y=0.73040771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53558349609375 × 213)
    floor (0.53558349609375 × 8192)
    floor (4387.5)     		tx = 4387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73040771484375 × 213)
    floor (0.73040771484375 × 8192)
    floor (5983.5)     		ty = 5983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4387 / 5983 ti = "13/4387/5983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4387/5983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4387 ÷ 213
    4387 ÷ 8192     		x = 0.5355224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5983 ÷ 213
    5983 ÷ 8192     		y = 0.7303466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5355224609375 × 2 - 1) × π
    0.071044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.22319420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7303466796875 × 2 - 1) × π
    -0.460693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44731087332874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22319420} λ = 0.22319420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44731087332874))-π/2
    2×atan(0.235201926208612)-π/2
    2×0.231003310234304-π/2
    0.462006620468609-1.57079632675     		φ = -1.10878971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22319420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.788086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10878971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.528971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4387 KachelY 5983 0.22319420 -1.10878971 12.788086 -63.528971
    Oben rechts KachelX + 1 4388 KachelY 5983 0.22396120 -1.10878971 12.832032 -63.528971
    Unten links KachelX 4387 KachelY + 1 5984 0.22319420 -1.10913147 12.788086 -63.548552
    Unten rechts KachelX + 1 4388 KachelY + 1 5984 0.22396120 -1.10913147 12.832032 -63.548552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10878971--1.10913147) × R
    0.000341759999999969 × 6371000     		dl = 2177.3529599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10878971--1.10913147) × R
    0.000341759999999969 × 6371000     		dr = 2177.3529599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22319420-0.22396120) × cos(-1.10878971) × R
    0.00076699999999999 × 0.44574524596887 × 6371000     		do = 2178.15955190588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22319420-0.22396120) × cos(-1.10913147) × R
    0.00076699999999999 × 0.445439290109431 × 6371000     		du = 2176.66448115924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10878971)-sin(-1.10913147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44574524596887-0.445439290109431)×R²
    abs(0.22396120-0.22319420)×0.000305955859438878×R²
    0.00076699999999999×0.000305955859438878×6371000²
    0.00076699999999999×0.000305955859438878×40589641000000     		ar = 4740994.54548039m²