Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4385 / 12928
↖ ↑ ↗
← S 71.524909°
W 83.649902°		 ← 774.24 m → S 71.524909°
W 83.627930°		 →
↑
774.08 m
↓
↑
774.08 m
↓
S 71.531870°
W 83.649902°		 ← 773.95 m →
599 209 m²		 S 71.531870°
W 83.627930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267669677734375 y=0.789093017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267669677734375 × 214)
    floor (0.267669677734375 × 16384)
    floor (4385.5)     		tx = 4385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789093017578125 × 214)
    floor (0.789093017578125 × 16384)
    floor (12928.5)     		ty = 12928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4385 / 12928 ti = "14/4385/12928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4385/12928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4385 ÷ 214
    4385 ÷ 16384     		x = 0.26763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12928 ÷ 214
    12928 ÷ 16384     		y = 0.7890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26763916015625 × 2 - 1) × π
    -0.4647216796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45996621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7890625 × 2 - 1) × π
    -0.578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81623325280469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45996621} λ = -1.45996621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81623325280469))-π/2
    2×atan(0.16263721186318)-π/2
    2×0.161225583460261-π/2
    0.322451166920523-1.57079632675     		φ = -1.24834516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45996621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.649902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24834516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.524909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4385 KachelY 12928 -1.45996621 -1.24834516 -83.649902 -71.524909
    Oben rechts KachelX + 1 4386 KachelY 12928 -1.45958272 -1.24834516 -83.627930 -71.524909
    Unten links KachelX 4385 KachelY + 1 12929 -1.45996621 -1.24846666 -83.649902 -71.531870
    Unten rechts KachelX + 1 4386 KachelY + 1 12929 -1.45958272 -1.24846666 -83.627930 -71.531870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24834516--1.24846666) × R
    0.000121500000000108 × 6371000     		dl = 774.076500000686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24834516--1.24846666) × R
    0.000121500000000108 × 6371000     		dr = 774.076500000686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45996621--1.45958272) × cos(-1.24834516) × R
    0.000383489999999931 × 0.316892347631675 × 6371000     		do = 774.236070571389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45996621--1.45958272) × cos(-1.24846666) × R
    0.000383489999999931 × 0.316777107219211 × 6371000     		du = 773.954513491252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24834516)-sin(-1.24846666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316892347631675-0.316777107219211)×R²
    abs(-1.45958272--1.45996621)×0.000115240412463691×R²
    0.000383489999999931×0.000115240412463691×6371000²
    0.000383489999999931×0.000115240412463691×40589641000000     		ar = 599208.975059627m²