Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4385 / 12923
↖ ↑ ↗
← S 71.490062°
W 83.649902°		 ← 775.65 m → S 71.490062°
W 83.627930°		 →
↑
775.54 m
↓
↑
775.54 m
↓
S 71.497037°
W 83.649902°		 ← 775.36 m →
601 436 m²		 S 71.497037°
W 83.627930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267669677734375 y=0.788787841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267669677734375 × 214)
    floor (0.267669677734375 × 16384)
    floor (4385.5)     		tx = 4385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788787841796875 × 214)
    floor (0.788787841796875 × 16384)
    floor (12923.5)     		ty = 12923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4385 / 12923 ti = "14/4385/12923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4385/12923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4385 ÷ 214
    4385 ÷ 16384     		x = 0.26763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12923 ÷ 214
    12923 ÷ 16384     		y = 0.78875732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26763916015625 × 2 - 1) × π
    -0.4647216796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45996621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.5775146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.81431577681989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45996621} λ = -1.45996621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81431577681989))-π/2
    2×atan(0.162949363987622)-π/2
    2×0.161529676610849-π/2
    0.323059353221698-1.57079632675     		φ = -1.24773697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45996621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.649902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24773697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.490062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4385 KachelY 12923 -1.45996621 -1.24773697 -83.649902 -71.490062
    Oben rechts KachelX + 1 4386 KachelY 12923 -1.45958272 -1.24773697 -83.627930 -71.490062
    Unten links KachelX 4385 KachelY + 1 12924 -1.45996621 -1.24785870 -83.649902 -71.497037
    Unten rechts KachelX + 1 4386 KachelY + 1 12924 -1.45958272 -1.24785870 -83.627930 -71.497037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24773697--1.24785870) × R
    0.000121730000000042 × 6371000     		dl = 775.541830000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24773697--1.24785870) × R
    0.000121730000000042 × 6371000     		dr = 775.541830000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45996621--1.45958272) × cos(-1.24773697) × R
    0.000383489999999931 × 0.317469133794724 × 6371000     		do = 775.645283055618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45996621--1.45958272) × cos(-1.24785870) × R
    0.000383489999999931 × 0.317353698705443 × 6371000     		du = 775.363250338203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24773697)-sin(-1.24785870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317469133794724-0.317353698705443)×R²
    abs(-1.45958272--1.45996621)×0.000115435089280358×R²
    0.000383489999999931×0.000115435089280358×6371000²
    0.000383489999999931×0.000115435089280358×40589641000000     		ar = 601435.998908889m²