Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4381 / 12870
↖ ↑ ↗
← S 71.116771°
W 83.737793°		 ← 790.74 m → S 71.116771°
W 83.715820°		 →
↑
790.58 m
↓
↑
790.58 m
↓
S 71.123880°
W 83.737793°		 ← 790.46 m →
625 031 m²		 S 71.123880°
W 83.715820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267425537109375 y=0.785552978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267425537109375 × 214)
    floor (0.267425537109375 × 16384)
    floor (4381.5)     		tx = 4381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785552978515625 × 214)
    floor (0.785552978515625 × 16384)
    floor (12870.5)     		ty = 12870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4381 / 12870 ti = "14/4381/12870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4381/12870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4381 ÷ 214
    4381 ÷ 16384     		x = 0.26739501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12870 ÷ 214
    12870 ÷ 16384     		y = 0.7855224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.4652099609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46150020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7855224609375 × 2 - 1) × π
    -0.571044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79399053138098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46150020} λ = -1.46150020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79399053138098))-π/2
    2×atan(0.166295237469395)-π/2
    2×0.164787265091542-π/2
    0.329574530183084-1.57079632675     		φ = -1.24122180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46150020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.737793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24122180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.116771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4381 KachelY 12870 -1.46150020 -1.24122180 -83.737793 -71.116771
    Oben rechts KachelX + 1 4382 KachelY 12870 -1.46111670 -1.24122180 -83.715820 -71.116771
    Unten links KachelX 4381 KachelY + 1 12871 -1.46150020 -1.24134589 -83.737793 -71.123880
    Unten rechts KachelX + 1 4382 KachelY + 1 12871 -1.46111670 -1.24134589 -83.715820 -71.123880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24122180--1.24134589) × R
    0.000124090000000132 × 6371000     		dl = 790.577390000842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24122180--1.24134589) × R
    0.000124090000000132 × 6371000     		dr = 790.577390000842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46150020--1.46111670) × cos(-1.24122180) × R
    0.00038349999999987 × 0.323640483408607 × 6371000     		do = 790.743834841589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46150020--1.46111670) × cos(-1.24134589) × R
    0.00038349999999987 × 0.323523069424875 × 6371000     		du = 790.456959779537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24122180)-sin(-1.24134589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323640483408607-0.323523069424875)×R²
    abs(-1.46111670--1.46150020)×0.000117413983732162×R²
    0.00038349999999987×0.000117413983732162×6371000²
    0.00038349999999987×0.000117413983732162×40589641000000     		ar = 625030.799439977m²