Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4380 / 6046
↖ ↑ ↗
← S 64.736641°
E 12.480469°		 ← 2 085.46 m → S 64.736641°
E 12.524414°		 →
↑
2 084.72 m
↓
↑
2 084.72 m
↓
S 64.755390°
E 12.480469°		 ← 2 084.01 m →
4 346 081 m²		 S 64.755390°
E 12.524414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53472900390625 y=0.73809814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53472900390625 × 213)
    floor (0.53472900390625 × 8192)
    floor (4380.5)     		tx = 4380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73809814453125 × 213)
    floor (0.73809814453125 × 8192)
    floor (6046.5)     		ty = 6046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4380 / 6046 ti = "13/4380/6046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4380/6046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4380 ÷ 213
    4380 ÷ 8192     		x = 0.53466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6046 ÷ 213
    6046 ÷ 8192     		y = 0.738037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53466796875 × 2 - 1) × π
    0.0693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21782527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.47607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49563126814575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21782527} λ = 0.21782527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49563126814575))-π/2
    2×atan(0.224107088401714)-π/2
    2×0.220464393888734-π/2
    0.440928787777468-1.57079632675     		φ = -1.12986754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21782527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12986754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.736641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4380 KachelY 6046 0.21782527 -1.12986754 12.480469 -64.736641
    Oben rechts KachelX + 1 4381 KachelY 6046 0.21859226 -1.12986754 12.524414 -64.736641
    Unten links KachelX 4380 KachelY + 1 6047 0.21782527 -1.13019476 12.480469 -64.755390
    Unten rechts KachelX + 1 4381 KachelY + 1 6047 0.21859226 -1.13019476 12.524414 -64.755390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12986754--1.13019476) × R
    0.000327219999999961 × 6371000     		dl = 2084.71861999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12986754--1.13019476) × R
    0.000327219999999961 × 6371000     		dr = 2084.71861999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21782527-0.21859226) × cos(-1.12986754) × R
    0.000766990000000023 × 0.4267796026254 × 6371000     		do = 2085.45566453795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21782527-0.21859226) × cos(-1.13019476) × R
    0.000766990000000023 × 0.426483656521353 × 6371000     		du = 2084.00952588632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12986754)-sin(-1.13019476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4267796026254-0.426483656521353)×R²
    abs(0.21859226-0.21782527)×0.000295946104046652×R²
    0.000766990000000023×0.000295946104046652×6371000²
    0.000766990000000023×0.000295946104046652×40589641000000     		ar = 4346080.8977389m²