Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 438 / 679
↖ ↑ ↗
← S 50.513427°
W 26.015625°		 ← 24.858 km → S 50.513427°
W 25.664062°		 →
↑
24.800 km
↓
↑
24.800 km
↓
S 50.736455°
W 26.015625°		 ← 24.741 km →
615.023 km²		 S 50.736455°
W 25.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42822265625 y=0.66357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42822265625 × 210)
    floor (0.42822265625 × 1024)
    floor (438.5)     		tx = 438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66357421875 × 210)
    floor (0.66357421875 × 1024)
    floor (679.5)     		ty = 679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 438 / 679 ti = "10/438/679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/438/679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 438 ÷ 210
    438 ÷ 1024     		x = 0.427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 679 ÷ 210
    679 ÷ 1024     		y = 0.6630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427734375 × 2 - 1) × π
    -0.14453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45405831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6630859375 × 2 - 1) × π
    -0.326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02469916627832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45405831} λ = -0.45405831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02469916627832))-π/2
    2×atan(0.3589044197193)-π/2
    2×0.344585358732327-π/2
    0.689170717464654-1.57079632675     		φ = -0.88162561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45405831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88162561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.513427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 438 KachelY 679 -0.45405831 -0.88162561 -26.015625 -50.513427
    Oben rechts KachelX + 1 439 KachelY 679 -0.44792239 -0.88162561 -25.664062 -50.513427
    Unten links KachelX 438 KachelY + 1 680 -0.45405831 -0.88551819 -26.015625 -50.736455
    Unten rechts KachelX + 1 439 KachelY + 1 680 -0.44792239 -0.88551819 -25.664062 -50.736455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88162561--0.88551819) × R
    0.00389258000000003 × 6371000     		dl = 24799.6271800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88162561--0.88551819) × R
    0.00389258000000003 × 6371000     		dr = 24799.6271800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45405831--0.44792239) × cos(-0.88162561) × R
    0.00613592000000002 × 0.635897382051354 × 6371000     		do = 24858.4663241801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45405831--0.44792239) × cos(-0.88551819) × R
    0.00613592000000002 × 0.632888381473458 × 6371000     		du = 24740.8386351122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88162561)-sin(-0.88551819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635897382051354-0.632888381473458)×R²
    abs(-0.44792239--0.45405831)×0.00300900057789566×R²
    0.00613592000000002×0.00300900057789566×6371000²
    0.00613592000000002×0.00300900057789566×40589641000000     		ar = 615022912.26709m²