Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 438 / 337
↖ ↑ ↗
← N 52.268157°
W 26.015625°		 ← 23.923 km → N 52.268157°
W 25.664062°		 →
↑
23.981 km
↓
↑
23.981 km
↓
N 52.052490°
W 26.015625°		 ← 24.039 km →
575.093 km²		 N 52.052490°
W 25.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42822265625 y=0.32958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42822265625 × 210)
    floor (0.42822265625 × 1024)
    floor (438.5)     		tx = 438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32958984375 × 210)
    floor (0.32958984375 × 1024)
    floor (337.5)     		ty = 337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 438 / 337 ti = "10/438/337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/438/337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 438 ÷ 210
    438 ÷ 1024     		x = 0.427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 337 ÷ 210
    337 ÷ 1024     		y = 0.3291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427734375 × 2 - 1) × π
    -0.14453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45405831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3291015625 × 2 - 1) × π
    0.341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07378655148926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45405831} λ = -0.45405831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07378655148926))-π/2
    2×atan(2.9264396612845)-π/2
    2×1.24152388344946-π/2
    2.48304776689892-1.57079632675     		φ = 0.91225144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45405831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91225144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.268157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 438 KachelY 337 -0.45405831 0.91225144 -26.015625 52.268157
    Oben rechts KachelX + 1 439 KachelY 337 -0.44792239 0.91225144 -25.664062 52.268157
    Unten links KachelX 438 KachelY + 1 338 -0.45405831 0.90848734 -26.015625 52.052490
    Unten rechts KachelX + 1 439 KachelY + 1 338 -0.44792239 0.90848734 -25.664062 52.052490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91225144-0.90848734) × R
    0.00376410000000005 × 6371000     		dl = 23981.0811000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91225144-0.90848734) × R
    0.00376410000000005 × 6371000     		dr = 23981.0811000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45405831--0.44792239) × cos(0.91225144) × R
    0.00613592000000002 × 0.611966675158383 × 6371000     		do = 23922.9684149204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45405831--0.44792239) × cos(0.90848734) × R
    0.00613592000000002 × 0.614939297592205 × 6371000     		du = 24039.1740115331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91225144)-sin(0.90848734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611966675158383-0.614939297592205)×R²
    abs(-0.44792239--0.45405831)×0.00297262243382246×R²
    0.00613592000000002×0.00297262243382246×6371000²
    0.00613592000000002×0.00297262243382246×40589641000000     		ar = 575092692.643724m²