Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4377 / 6108
↖ ↑ ↗
← S 65.874725°
E 12.348633°		 ← 1 997.27 m → S 65.874725°
E 12.392578°		 →
↑
1 996.54 m
↓
↑
1 996.54 m
↓
S 65.892680°
E 12.348633°		 ← 1 995.87 m →
3 986 245 m²		 S 65.892680°
E 12.392578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53436279296875 y=0.74566650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53436279296875 × 213)
    floor (0.53436279296875 × 8192)
    floor (4377.5)     		tx = 4377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74566650390625 × 213)
    floor (0.74566650390625 × 8192)
    floor (6108.5)     		ty = 6108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4377 / 6108 ti = "13/4377/6108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4377/6108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4377 ÷ 213
    4377 ÷ 8192     		x = 0.5343017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6108 ÷ 213
    6108 ÷ 8192     		y = 0.74560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5343017578125 × 2 - 1) × π
    0.068603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.21552430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74560546875 × 2 - 1) × π
    -0.4912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54318467256885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21552430} λ = 0.21552430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54318467256885))-π/2
    2×atan(0.213699453802344)-π/2
    2×0.210532743729745-π/2
    0.42106548745949-1.57079632675     		φ = -1.14973084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21552430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.348633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14973084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.874725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4377 KachelY 6108 0.21552430 -1.14973084 12.348633 -65.874725
    Oben rechts KachelX + 1 4378 KachelY 6108 0.21629129 -1.14973084 12.392578 -65.874725
    Unten links KachelX 4377 KachelY + 1 6109 0.21552430 -1.15004422 12.348633 -65.892680
    Unten rechts KachelX + 1 4378 KachelY + 1 6109 0.21629129 -1.15004422 12.392578 -65.892680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14973084--1.15004422) × R
    0.000313380000000141 × 6371000     		dl = 1996.5439800009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14973084--1.15004422) × R
    0.000313380000000141 × 6371000     		dr = 1996.5439800009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21552430-0.21629129) × cos(-1.14973084) × R
    0.000766989999999995 × 0.408733105626485 × 6371000     		do = 1997.27157804467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21552430-0.21629129) × cos(-1.15004422) × R
    0.000766989999999995 × 0.408447078063352 × 6371000     		du = 1995.87390627666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14973084)-sin(-1.15004422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408733105626485-0.408447078063352)×R²
    abs(0.21629129-0.21552430)×0.000286027563132951×R²
    0.000766989999999995×0.000286027563132951×6371000²
    0.000766989999999995×0.000286027563132951×40589641000000     		ar = 3986245.32161795m²