Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4377 / 3831
↖ ↑ ↗
← N 79.704870°
W131.912842°		 ← 218.32 m → N 79.704870°
W131.901856°		 →
↑
218.40 m
↓
↑
218.40 m
↓
N 79.702906°
W131.912842°		 ← 218.36 m →
47 685 m²		 N 79.702906°
W131.901856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.133590698242188 y=0.116928100585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.133590698242188 × 215)
    floor (0.133590698242188 × 32768)
    floor (4377.5)     		tx = 4377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116928100585938 × 215)
    floor (0.116928100585938 × 32768)
    floor (3831.5)     		ty = 3831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4377 / 3831 ti = "15/4377/3831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4377/3831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4377 ÷ 215
    4377 ÷ 32768     		x = 0.133575439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3831 ÷ 215
    3831 ÷ 32768     		y = 0.116912841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.133575439453125 × 2 - 1) × π
    -0.73284912109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.30231341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116912841796875 × 2 - 1) × π
    0.76617431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40700760372226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30231341} λ = -2.30231341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40700760372226))-π/2
    2×atan(11.100693720661)-π/2
    2×1.48095437181693-π/2
    2.96190874363387-1.57079632675     		φ = 1.39111242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30231341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.912842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39111242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.704870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4377 KachelY 3831 -2.30231341 1.39111242 -131.912842 79.704870
    Oben rechts KachelX + 1 4378 KachelY 3831 -2.30212167 1.39111242 -131.901856 79.704870
    Unten links KachelX 4377 KachelY + 1 3832 -2.30231341 1.39107814 -131.912842 79.702906
    Unten rechts KachelX + 1 4378 KachelY + 1 3832 -2.30212167 1.39107814 -131.901856 79.702906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39111242-1.39107814) × R
    3.42799999999421e-05 × 6371000     		dl = 218.397879999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39111242-1.39107814) × R
    3.42799999999421e-05 × 6371000     		dr = 218.397879999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30231341--2.30212167) × cos(1.39111242) × R
    0.000191739999999996 × 0.178718578180967 × 6371000     		do = 218.318243649442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30231341--2.30212167) × cos(1.39107814) × R
    0.000191739999999996 × 0.178752306175962 × 6371000     		du = 218.359444943142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39111242)-sin(1.39107814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178718578180967-0.178752306175962)×R²
    abs(-2.30212167--2.30231341)×3.37279949957636e-05×R²
    0.000191739999999996×3.37279949957636e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.37279949957636e-05×40589641000000     		ar = 47684.7407206635m²