Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4377 / 12877
↖ ↑ ↗
← S 71.166486°
W 83.825684°		 ← 788.74 m → S 71.166486°
W 83.803711°		 →
↑
788.54 m
↓
↑
788.54 m
↓
S 71.173578°
W 83.825684°		 ← 788.45 m →
621 837 m²		 S 71.173578°
W 83.803711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267181396484375 y=0.785980224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267181396484375 × 214)
    floor (0.267181396484375 × 16384)
    floor (4377.5)     		tx = 4377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785980224609375 × 214)
    floor (0.785980224609375 × 16384)
    floor (12877.5)     		ty = 12877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4377 / 12877 ti = "14/4377/12877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4377/12877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4377 ÷ 214
    4377 ÷ 16384     		x = 0.26715087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12877 ÷ 214
    12877 ÷ 16384     		y = 0.78594970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26715087890625 × 2 - 1) × π
    -0.4656982421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.46303418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78594970703125 × 2 - 1) × π
    -0.5718994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7966749977597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46303418} λ = -1.46303418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7966749977597))-π/2
    2×atan(0.165849422151308)-π/2
    2×0.164353415363494-π/2
    0.328706830726989-1.57079632675     		φ = -1.24208950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46303418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.825684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24208950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.166486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4377 KachelY 12877 -1.46303418 -1.24208950 -83.825684 -71.166486
    Oben rechts KachelX + 1 4378 KachelY 12877 -1.46265068 -1.24208950 -83.803711 -71.166486
    Unten links KachelX 4377 KachelY + 1 12878 -1.46303418 -1.24221327 -83.825684 -71.173578
    Unten rechts KachelX + 1 4378 KachelY + 1 12878 -1.46265068 -1.24221327 -83.803711 -71.173578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24208950--1.24221327) × R
    0.000123769999999856 × 6371000     		dl = 788.538669999086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24208950--1.24221327) × R
    0.000123769999999856 × 6371000     		dr = 788.538669999086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46303418--1.46265068) × cos(-1.24208950) × R
    0.00038349999999987 × 0.32281936117826 × 6371000     		do = 788.73760455031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46303418--1.46265068) × cos(-1.24221327) × R
    0.00038349999999987 × 0.322702215277938 × 6371000     		du = 788.45138449069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24208950)-sin(-1.24221327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32281936117826-0.322702215277938)×R²
    abs(-1.46265068--1.46303418)×0.000117145900322191×R²
    0.00038349999999987×0.000117145900322191×6371000²
    0.00038349999999987×0.000117145900322191×40589641000000     		ar = 621837.254671569m²