Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4377 / 12869
↖ ↑ ↗
← S 71.109658°
W 83.825684°		 ← 791.03 m → S 71.109658°
W 83.803711°		 →
↑
790.90 m
↓
↑
790.90 m
↓
S 71.116771°
W 83.825684°		 ← 790.74 m →
625 510 m²		 S 71.116771°
W 83.803711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267181396484375 y=0.785491943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267181396484375 × 214)
    floor (0.267181396484375 × 16384)
    floor (4377.5)     		tx = 4377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785491943359375 × 214)
    floor (0.785491943359375 × 16384)
    floor (12869.5)     		ty = 12869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4377 / 12869 ti = "14/4377/12869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4377/12869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4377 ÷ 214
    4377 ÷ 16384     		x = 0.26715087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12869 ÷ 214
    12869 ÷ 16384     		y = 0.78546142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26715087890625 × 2 - 1) × π
    -0.4656982421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.46303418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78546142578125 × 2 - 1) × π
    -0.5709228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79360703618402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46303418} λ = -1.46303418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79360703618402))-π/2
    2×atan(0.166359023124206)-π/2
    2×0.164849333637739-π/2
    0.329698667275477-1.57079632675     		φ = -1.24109766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46303418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.825684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24109766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.109658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4377 KachelY 12869 -1.46303418 -1.24109766 -83.825684 -71.109658
    Oben rechts KachelX + 1 4378 KachelY 12869 -1.46265068 -1.24109766 -83.803711 -71.109658
    Unten links KachelX 4377 KachelY + 1 12870 -1.46303418 -1.24122180 -83.825684 -71.116771
    Unten rechts KachelX + 1 4378 KachelY + 1 12870 -1.46265068 -1.24122180 -83.803711 -71.116771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24109766--1.24122180) × R
    0.000124139999999828 × 6371000     		dl = 790.895939998906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24109766--1.24122180) × R
    0.000124139999999828 × 6371000     		dr = 790.895939998906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46303418--1.46265068) × cos(-1.24109766) × R
    0.00038349999999987 × 0.323757939715815 × 6371000     		do = 791.030813311678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46303418--1.46265068) × cos(-1.24122180) × R
    0.00038349999999987 × 0.323640483408607 × 6371000     		du = 790.743834841589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24109766)-sin(-1.24122180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323757939715815-0.323640483408607)×R²
    abs(-1.46265068--1.46303418)×0.000117456307207164×R²
    0.00038349999999987×0.000117456307207164×6371000²
    0.00038349999999987×0.000117456307207164×40589641000000     		ar = 625509.574412623m²