Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4375 / 3828
↖ ↑ ↗
← N 79.710759°
W131.934814°		 ← 218.21 m → N 79.710759°
W131.923828°		 →
↑
218.21 m
↓
↑
218.21 m
↓
N 79.708796°
W131.934814°		 ← 218.25 m →
47 619 m²		 N 79.708796°
W131.923828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.133529663085938 y=0.116836547851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.133529663085938 × 215)
    floor (0.133529663085938 × 32768)
    floor (4375.5)     		tx = 4375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116836547851562 × 215)
    floor (0.116836547851562 × 32768)
    floor (3828.5)     		ty = 3828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4375 / 3828 ti = "15/4375/3828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4375/3828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4375 ÷ 215
    4375 ÷ 32768     		x = 0.133514404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3828 ÷ 215
    3828 ÷ 32768     		y = 0.1168212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.133514404296875 × 2 - 1) × π
    -0.73297119140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.30269691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1168212890625 × 2 - 1) × π
    0.766357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4075828465177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30269691} λ = -2.30269691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4075828465177))-π/2
    2×atan(11.1070811517339)-π/2
    2×1.48100576056108-π/2
    2.96201152112216-1.57079632675     		φ = 1.39121519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30269691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.934814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39121519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.710759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4375 KachelY 3828 -2.30269691 1.39121519 -131.934814 79.710759
    Oben rechts KachelX + 1 4376 KachelY 3828 -2.30250516 1.39121519 -131.923828 79.710759
    Unten links KachelX 4375 KachelY + 1 3829 -2.30269691 1.39118094 -131.934814 79.708796
    Unten rechts KachelX + 1 4376 KachelY + 1 3829 -2.30250516 1.39118094 -131.923828 79.708796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39121519-1.39118094) × R
    3.42500000001245e-05 × 6371000     		dl = 218.206750000793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39121519-1.39118094) × R
    3.42500000001245e-05 × 6371000     		dr = 218.206750000793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30269691--2.30250516) × cos(1.39121519) × R
    0.000191749999999935 × 0.178617461810347 × 6371000     		do = 218.206102082822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30269691--2.30250516) × cos(1.39118094) × R
    0.000191749999999935 × 0.178651160917467 × 6371000     		du = 218.24727023477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39121519)-sin(1.39118094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178617461810347-0.178651160917467)×R²
    abs(-2.30250516--2.30269691)×3.36991071205883e-05×R²
    0.000191749999999935×3.36991071205883e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.36991071205883e-05×40589641000000     		ar = 47618.5359547815m²