Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4375 / 12875
↖ ↑ ↗
← S 71.152295°
W 83.869629°		 ← 789.31 m → S 71.152295°
W 83.847656°		 →
↑
789.11 m
↓
↑
789.11 m
↓
S 71.159391°
W 83.869629°		 ← 789.02 m →
622 741 m²		 S 71.159391°
W 83.847656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267059326171875 y=0.785858154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267059326171875 × 214)
    floor (0.267059326171875 × 16384)
    floor (4375.5)     		tx = 4375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785858154296875 × 214)
    floor (0.785858154296875 × 16384)
    floor (12875.5)     		ty = 12875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4375 / 12875 ti = "14/4375/12875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4375/12875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4375 ÷ 214
    4375 ÷ 16384     		x = 0.26702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12875 ÷ 214
    12875 ÷ 16384     		y = 0.78582763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26702880859375 × 2 - 1) × π
    -0.4659423828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46380117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78582763671875 × 2 - 1) × π
    -0.5716552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79590800736578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46380117} λ = -1.46380117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79590800736578))-π/2
    2×atan(0.165976675859883)-π/2
    2×0.164477259983741-π/2
    0.328954519967483-1.57079632675     		φ = -1.24184181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46380117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.869629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24184181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.152295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4375 KachelY 12875 -1.46380117 -1.24184181 -83.869629 -71.152295
    Oben rechts KachelX + 1 4376 KachelY 12875 -1.46341767 -1.24184181 -83.847656 -71.152295
    Unten links KachelX 4375 KachelY + 1 12876 -1.46380117 -1.24196567 -83.869629 -71.159391
    Unten rechts KachelX + 1 4376 KachelY + 1 12876 -1.46341767 -1.24196567 -83.847656 -71.159391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24184181--1.24196567) × R
    0.000123859999999976 × 6371000     		dl = 789.112059999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24184181--1.24196567) × R
    0.000123859999999976 × 6371000     		dr = 789.112059999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46380117--1.46341767) × cos(-1.24184181) × R
    0.000383500000000092 × 0.323053780098383 × 6371000     		do = 789.310355258298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46380117--1.46341767) × cos(-1.24196567) × R
    0.000383500000000092 × 0.322936558918546 × 6371000     		du = 789.023951269856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24184181)-sin(-1.24196567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323053780098383-0.322936558918546)×R²
    abs(-1.46341767--1.46380117)×0.000117221179837312×R²
    0.000383500000000092×0.000117221179837312×6371000²
    0.000383500000000092×0.000117221179837312×40589641000000     		ar = 622741.318793064m²