Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4374 / 3830
↖ ↑ ↗
← N 79.706833°
W131.945801°		 ← 218.29 m → N 79.706833°
W131.934814°		 →
↑
218.27 m
↓
↑
218.27 m
↓
N 79.704870°
W131.945801°		 ← 218.33 m →
47 650 m²		 N 79.704870°
W131.934814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.133499145507812 y=0.116897583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.133499145507812 × 215)
    floor (0.133499145507812 × 32768)
    floor (4374.5)     		tx = 4374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116897583007812 × 215)
    floor (0.116897583007812 × 32768)
    floor (3830.5)     		ty = 3830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4374 / 3830 ti = "15/4374/3830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4374/3830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4374 ÷ 215
    4374 ÷ 32768     		x = 0.13348388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3830 ÷ 215
    3830 ÷ 32768     		y = 0.11688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13348388671875 × 2 - 1) × π
    -0.7330322265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.30288866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11688232421875 × 2 - 1) × π
    0.7662353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40719935132074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30288866} λ = -2.30288866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40719935132074))-π/2
    2×atan(11.1028224561069)-π/2
    2×1.48097150463012-π/2
    2.96194300926024-1.57079632675     		φ = 1.39114668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30288866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.945801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39114668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.706833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4374 KachelY 3830 -2.30288866 1.39114668 -131.945801 79.706833
    Oben rechts KachelX + 1 4375 KachelY 3830 -2.30269691 1.39114668 -131.934814 79.706833
    Unten links KachelX 4374 KachelY + 1 3831 -2.30288866 1.39111242 -131.945801 79.704870
    Unten rechts KachelX + 1 4375 KachelY + 1 3831 -2.30269691 1.39111242 -131.934814 79.704870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39114668-1.39111242) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dl = 218.270460000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39114668-1.39111242) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dr = 218.270460000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30288866--2.30269691) × cos(1.39114668) × R
    0.000191749999999935 × 0.178684869654082 × 6371000     		do = 218.288450150487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30288866--2.30269691) × cos(1.39111242) × R
    0.000191749999999935 × 0.178718578180967 × 6371000     		du = 218.329629809988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39114668)-sin(1.39111242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178684869654082-0.178718578180967)×R²
    abs(-2.30269691--2.30288866)×3.37085268841963e-05×R²
    0.000191749999999935×3.37085268841963e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.37085268841963e-05×40589641000000     		ar = 47650.414584126m²