Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4373 / 3829
↖ ↑ ↗
← N 79.708796°
W131.956787°		 ← 218.25 m → N 79.708796°
W131.945801°		 →
↑
218.27 m
↓
↑
218.27 m
↓
N 79.706833°
W131.956787°		 ← 218.29 m →
47 641 m²		 N 79.706833°
W131.945801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.133468627929688 y=0.116867065429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.133468627929688 × 215)
    floor (0.133468627929688 × 32768)
    floor (4373.5)     		tx = 4373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116867065429688 × 215)
    floor (0.116867065429688 × 32768)
    floor (3829.5)     		ty = 3829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4373 / 3829 ti = "15/4373/3829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4373/3829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4373 ÷ 215
    4373 ÷ 32768     		x = 0.133453369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3829 ÷ 215
    3829 ÷ 32768     		y = 0.116851806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.133453369140625 × 2 - 1) × π
    -0.73309326171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.30308041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116851806640625 × 2 - 1) × π
    0.76629638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.40739109891922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30308041} λ = -2.30308041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40739109891922))-π/2
    2×atan(11.1049515997717)-π/2
    2×1.48098863421131-π/2
    2.96197726842261-1.57079632675     		φ = 1.39118094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30308041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.956787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39118094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.708796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4373 KachelY 3829 -2.30308041 1.39118094 -131.956787 79.708796
    Oben rechts KachelX + 1 4374 KachelY 3829 -2.30288866 1.39118094 -131.945801 79.708796
    Unten links KachelX 4373 KachelY + 1 3830 -2.30308041 1.39114668 -131.956787 79.706833
    Unten rechts KachelX + 1 4374 KachelY + 1 3830 -2.30288866 1.39114668 -131.945801 79.706833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39118094-1.39114668) × R
    3.42599999998416e-05 × 6371000     		dl = 218.270459998991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39118094-1.39114668) × R
    3.42599999998416e-05 × 6371000     		dr = 218.270459998991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30308041--2.30288866) × cos(1.39118094) × R
    0.000191750000000379 × 0.178651160917467 × 6371000     		do = 218.247270235276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30308041--2.30288866) × cos(1.39114668) × R
    0.000191750000000379 × 0.178684869654082 × 6371000     		du = 218.288450150993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39118094)-sin(1.39114668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178651160917467-0.178684869654082)×R²
    abs(-2.30288866--2.30308041)×3.37087366149291e-05×R²
    0.000191750000000379×3.37087366149291e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.37087366149291e-05×40589641000000     		ar = 47641.4262518672m²