Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4373 / 2332
↖ ↑ ↗
← N 77.934055°
W 83.913574°		 ← 510.74 m → N 77.934055°
W 83.891601°		 →
↑
510.83 m
↓
↑
510.83 m
↓
N 77.929461°
W 83.913574°		 ← 510.93 m →
260 947 m²		 N 77.929461°
W 83.891601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266937255859375 y=0.142364501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266937255859375 × 214)
    floor (0.266937255859375 × 16384)
    floor (4373.5)     		tx = 4373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142364501953125 × 214)
    floor (0.142364501953125 × 16384)
    floor (2332.5)     		ty = 2332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4373 / 2332 ti = "14/4373/2332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4373/2332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4373 ÷ 214
    4373 ÷ 16384     		x = 0.26690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2332 ÷ 214
    2332 ÷ 16384     		y = 0.142333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26690673828125 × 2 - 1) × π
    -0.4661865234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46456816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142333984375 × 2 - 1) × π
    0.71533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24728185418823
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46456816} λ = -1.46456816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24728185418823))-π/2
    2×atan(9.46198180439541)-π/2
    2×1.46550109469921-π/2
    2.93100218939842-1.57079632675     		φ = 1.36020586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46456816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.913574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36020586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.934055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4373 KachelY 2332 -1.46456816 1.36020586 -83.913574 77.934055
    Oben rechts KachelX + 1 4374 KachelY 2332 -1.46418466 1.36020586 -83.891601 77.934055
    Unten links KachelX 4373 KachelY + 1 2333 -1.46456816 1.36012568 -83.913574 77.929461
    Unten rechts KachelX + 1 4374 KachelY + 1 2333 -1.46418466 1.36012568 -83.891601 77.929461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36020586-1.36012568) × R
    8.01800000000963e-05 × 6371000     		dl = 510.826780000613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36020586-1.36012568) × R
    8.01800000000963e-05 × 6371000     		dr = 510.826780000613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46456816--1.46418466) × cos(1.36020586) × R
    0.000383500000000092 × 0.20903735825219 × 6371000     		do = 510.736483114497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46456816--1.46418466) × cos(1.36012568) × R
    0.000383500000000092 × 0.209115766215998 × 6371000     		du = 510.928055606697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36020586)-sin(1.36012568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20903735825219-0.209115766215998)×R²
    abs(-1.46418466--1.46456816)×7.84079638079527e-05×R²
    0.000383500000000092×7.84079638079527e-05×6371000²
    0.000383500000000092×7.84079638079527e-05×40589641000000     		ar = 260946.803417383m²