Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4373 / 12908
↖ ↑ ↗
← S 71.385142°
W 83.913574°		 ← 779.91 m → S 71.385142°
W 83.891601°		 →
↑
779.75 m
↓
↑
779.75 m
↓
S 71.392155°
W 83.913574°		 ← 779.62 m →
608 019 m²		 S 71.392155°
W 83.891601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266937255859375 y=0.787872314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266937255859375 × 214)
    floor (0.266937255859375 × 16384)
    floor (4373.5)     		tx = 4373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787872314453125 × 214)
    floor (0.787872314453125 × 16384)
    floor (12908.5)     		ty = 12908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4373 / 12908 ti = "14/4373/12908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4373/12908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4373 ÷ 214
    4373 ÷ 16384     		x = 0.26690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12908 ÷ 214
    12908 ÷ 16384     		y = 0.787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26690673828125 × 2 - 1) × π
    -0.4661865234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46456816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.57568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80856334886548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46456816} λ = -1.46456816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80856334886548))-π/2
    2×atan(0.163889419673244)-π/2
    2×0.162445280219812-π/2
    0.324890560439624-1.57079632675     		φ = -1.24590577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46456816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.913574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24590577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.385142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4373 KachelY 12908 -1.46456816 -1.24590577 -83.913574 -71.385142
    Oben rechts KachelX + 1 4374 KachelY 12908 -1.46418466 -1.24590577 -83.891601 -71.385142
    Unten links KachelX 4373 KachelY + 1 12909 -1.46456816 -1.24602816 -83.913574 -71.392155
    Unten rechts KachelX + 1 4374 KachelY + 1 12909 -1.46418466 -1.24602816 -83.891601 -71.392155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24590577--1.24602816) × R
    0.000122390000000028 × 6371000     		dl = 779.746690000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24590577--1.24602816) × R
    0.000122390000000028 × 6371000     		dr = 779.746690000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46456816--1.46418466) × cos(-1.24590577) × R
    0.000383500000000092 × 0.31920507001208 × 6371000     		do = 779.906884651696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46456816--1.46418466) × cos(-1.24602816) × R
    0.000383500000000092 × 0.319089080372859 × 6371000     		du = 779.623489659966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24590577)-sin(-1.24602816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31920507001208-0.319089080372859)×R²
    abs(-1.46418466--1.46456816)×0.000115989639220493×R²
    0.000383500000000092×0.000115989639220493×6371000²
    0.000383500000000092×0.000115989639220493×40589641000000     		ar = 608019.324422443m²