Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4369 / 12899
↖ ↑ ↗
← S 71.321915°
W 84.001465°		 ← 782.46 m → S 71.321915°
W 83.979492°		 →
↑
782.30 m
↓
↑
782.30 m
↓
S 71.328950°
W 84.001465°		 ← 782.18 m →
612 005 m²		 S 71.328950°
W 83.979492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266693115234375 y=0.787322998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266693115234375 × 214)
    floor (0.266693115234375 × 16384)
    floor (4369.5)     		tx = 4369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787322998046875 × 214)
    floor (0.787322998046875 × 16384)
    floor (12899.5)     		ty = 12899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4369 / 12899 ti = "14/4369/12899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4369/12899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4369 ÷ 214
    4369 ÷ 16384     		x = 0.26666259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12899 ÷ 214
    12899 ÷ 16384     		y = 0.78729248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26666259765625 × 2 - 1) × π
    -0.4666748046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.46610214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78729248046875 × 2 - 1) × π
    -0.5745849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80511189209283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46610214} λ = -1.46610214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80511189209283))-π/2
    2×atan(0.164456054215549)-π/2
    2×0.162997043252285-π/2
    0.32599408650457-1.57079632675     		φ = -1.24480224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46610214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.001465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24480224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.321915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4369 KachelY 12899 -1.46610214 -1.24480224 -84.001465 -71.321915
    Oben rechts KachelX + 1 4370 KachelY 12899 -1.46571864 -1.24480224 -83.979492 -71.321915
    Unten links KachelX 4369 KachelY + 1 12900 -1.46610214 -1.24492503 -84.001465 -71.328950
    Unten rechts KachelX + 1 4370 KachelY + 1 12900 -1.46571864 -1.24492503 -83.979492 -71.328950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24480224--1.24492503) × R
    0.000122790000000039 × 6371000     		dl = 782.29509000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24480224--1.24492503) × R
    0.000122790000000039 × 6371000     		dr = 782.29509000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46610214--1.46571864) × cos(-1.24480224) × R
    0.000383500000000092 × 0.320250675003323 × 6371000     		do = 782.461588846296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46610214--1.46571864) × cos(-1.24492503) × R
    0.000383500000000092 × 0.320134349590218 × 6371000     		du = 782.177373465451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24480224)-sin(-1.24492503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320250675003323-0.320134349590218)×R²
    abs(-1.46571864--1.46610214)×0.000116325413105578×R²
    0.000383500000000092×0.000116325413105578×6371000²
    0.000383500000000092×0.000116325413105578×40589641000000     		ar = 612004.689688344m²