Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4367 / 12893
↖ ↑ ↗
← S 71.279648°
W 84.045410°		 ← 784.17 m → S 71.279648°
W 84.023437°		 →
↑
784.02 m
↓
↑
784.02 m
↓
S 71.286699°
W 84.045410°		 ← 783.88 m →
614 689 m²		 S 71.286699°
W 84.023437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266571044921875 y=0.786956787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266571044921875 × 214)
    floor (0.266571044921875 × 16384)
    floor (4367.5)     		tx = 4367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786956787109375 × 214)
    floor (0.786956787109375 × 16384)
    floor (12893.5)     		ty = 12893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4367 / 12893 ti = "14/4367/12893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4367/12893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4367 ÷ 214
    4367 ÷ 16384     		x = 0.26654052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12893 ÷ 214
    12893 ÷ 16384     		y = 0.78692626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26654052734375 × 2 - 1) × π
    -0.4669189453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46686913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78692626953125 × 2 - 1) × π
    -0.5738525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80281092091107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46686913} λ = -1.46686913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80281092091107))-π/2
    2×atan(0.164834898544759)-π/2
    2×0.163365888861751-π/2
    0.326731777723502-1.57079632675     		φ = -1.24406455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46686913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.045410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24406455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.279648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4367 KachelY 12893 -1.46686913 -1.24406455 -84.045410 -71.279648
    Oben rechts KachelX + 1 4368 KachelY 12893 -1.46648563 -1.24406455 -84.023437 -71.279648
    Unten links KachelX 4367 KachelY + 1 12894 -1.46686913 -1.24418761 -84.045410 -71.286699
    Unten rechts KachelX + 1 4368 KachelY + 1 12894 -1.46648563 -1.24418761 -84.023437 -71.286699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24406455--1.24418761) × R
    0.000123059999999953 × 6371000     		dl = 784.015259999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24406455--1.24418761) × R
    0.000123059999999953 × 6371000     		dr = 784.015259999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46686913--1.46648563) × cos(-1.24406455) × R
    0.000383500000000092 × 0.320949425762847 × 6371000     		do = 784.168831553899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46686913--1.46648563) × cos(-1.24418761) × R
    0.000383500000000092 × 0.320832873658073 × 6371000     		du = 783.884062302175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24406455)-sin(-1.24418761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320949425762847-0.320832873658073)×R²
    abs(-1.46648563--1.46686913)×0.000116552104773626×R²
    0.000383500000000092×0.000116552104773626×6371000²
    0.000383500000000092×0.000116552104773626×40589641000000     		ar = 614688.699411029m²