Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 436 / 123
↖ ↑ ↗
← N 79.496652°
W 26.718750°		 ← 7 126.19 m → N 79.496652°
W 26.367188°		 →
↑
7 147.75 m
↓
↑
7 147.75 m
↓
N 79.432371°
W 26.718750°		 ← 7 169.31 m →
51 090 329 m²		 N 79.432371°
W 26.367188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42626953125 y=0.12060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42626953125 × 210)
    floor (0.42626953125 × 1024)
    floor (436.5)     		tx = 436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12060546875 × 210)
    floor (0.12060546875 × 1024)
    floor (123.5)     		ty = 123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 436 / 123 ti = "10/436/123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/436/123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 436 ÷ 210
    436 ÷ 1024     		x = 0.42578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 123 ÷ 210
    123 ÷ 1024     		y = 0.1201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42578125 × 2 - 1) × π
    -0.1484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46633016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1201171875 × 2 - 1) × π
    0.759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38687410588184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46633016} λ = -0.46633016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38687410588184))-π/2
    2×atan(10.8794327800462)-π/2
    2×1.47913732280807-π/2
    2.95827464561614-1.57079632675     		φ = 1.38747832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46633016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38747832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.496652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 436 KachelY 123 -0.46633016 1.38747832 -26.718750 79.496652
    Oben rechts KachelX + 1 437 KachelY 123 -0.46019424 1.38747832 -26.367188 79.496652
    Unten links KachelX 436 KachelY + 1 124 -0.46633016 1.38635640 -26.718750 79.432371
    Unten rechts KachelX + 1 437 KachelY + 1 124 -0.46019424 1.38635640 -26.367188 79.432371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38747832-1.38635640) × R
    0.00112192000000011 × 6371000     		dl = 7147.7523200007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38747832-1.38635640) × R
    0.00112192000000011 × 6371000     		dr = 7147.7523200007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46633016--0.46019424) × cos(1.38747832) × R
    0.00613592000000002 × 0.182292982011374 × 6371000     		do = 7126.18746730136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46633016--0.46019424) × cos(1.38635640) × R
    0.00613592000000002 × 0.183395988450163 × 6371000     		du = 7169.30613579712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38747832)-sin(1.38635640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182292982011374-0.183395988450163)×R²
    abs(-0.46019424--0.46633016)×0.00110300643878899×R²
    0.00613592000000002×0.00110300643878899×6371000²
    0.00613592000000002×0.00110300643878899×40589641000000     		ar = 51090329.1425192m²