Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 436 / 1140
↖ ↑ ↗
← N 62.103883°
W141.679687°		 ← 4 572.49 m → N 62.103883°
W141.591797°		 →
↑
4 575.59 m
↓
↑
4 575.59 m
↓
N 62.062733°
W141.679687°		 ← 4 578.69 m →
20 936 007 m²		 N 62.062733°
W141.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1065673828125 y=0.2784423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1065673828125 × 212)
    floor (0.1065673828125 × 4096)
    floor (436.5)     		tx = 436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2784423828125 × 212)
    floor (0.2784423828125 × 4096)
    floor (1140.5)     		ty = 1140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 436 / 1140 ti = "12/436/1140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/436/1140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 436 ÷ 212
    436 ÷ 4096     		x = 0.1064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1140 ÷ 212
    1140 ÷ 4096     		y = 0.2783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1064453125 × 2 - 1) × π
    -0.787109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.47277703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2783203125 × 2 - 1) × π
    0.443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.39285455536035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47277703} λ = -2.47277703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39285455536035))-π/2
    2×atan(4.02632703778487)-π/2
    2×1.3273567775363-π/2
    2.6547135550726-1.57079632675     		φ = 1.08391723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47277703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.679687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08391723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.103883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 436 KachelY 1140 -2.47277703 1.08391723 -141.679687 62.103883
    Oben rechts KachelX + 1 437 KachelY 1140 -2.47124305 1.08391723 -141.591797 62.103883
    Unten links KachelX 436 KachelY + 1 1141 -2.47277703 1.08319904 -141.679687 62.062733
    Unten rechts KachelX + 1 437 KachelY + 1 1141 -2.47124305 1.08319904 -141.591797 62.062733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08391723-1.08319904) × R
    0.000718189999999952 × 6371000     		dl = 4575.58848999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08391723-1.08319904) × R
    0.000718189999999952 × 6371000     		dr = 4575.58848999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47277703--2.47124305) × cos(1.08391723) × R
    0.00153398000000005 × 0.467869925240023 × 6371000     		do = 4572.48650055649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47277703--2.47124305) × cos(1.08319904) × R
    0.00153398000000005 × 0.468504538932068 × 6371000     		du = 4578.68857165232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08391723)-sin(1.08319904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467869925240023-0.468504538932068)×R²
    abs(-2.47124305--2.47277703)×0.000634613692044705×R²
    0.00153398000000005×0.000634613692044705×6371000²
    0.00153398000000005×0.000634613692044705×40589641000000     		ar = 20936006.5650793m²